Institutiones arithmeticae ad percipienda astrologiam et mathematicas facultates necessariae

INSTITVTIONES

ARITHMETICAE AD PER-

CIPIENDAM ASTROLOGI AH ET

Mathematicas facultates neceffaria:.
UVCTORE

H teronymo Jbtunyos 'Ualentino // ebraica lin-
gua pariter at ^ Mathematum in Cjy-
mnafto TJ alentino publico
profejjorc^t

Impreflum cura facultate Illuft.acReue.domi.
ni Archiepifcopi Valentini.

Cautum eft Senatus confulto Reipub. V alen-
tinse, ne quis has inftitutiones in hoc regno excu
dere, aut alibi exculTas vendere intra quinque an
nos audeat, fub poenis in priuilegio contentis.
DatumValenti2die2unenf.Martij.Ann.r566.

nempt

tiocin,

tur,at

quod)

tione..

parat,

rapop

rafup

EPISTOLA.

Cernis igitur antice, reitera peritiam huius difciplin a no-
bis nece /fartam,- quandoquidem, Vt apparet, animum ad
hoc inducit ,Vtipfa intelligetia vtatur ad Veritatem ipfam
percipienda. 4n ejr hoc aduertifli, homines natura Jrith
meticos,ad omnes doc Irinas, vt ita dixerim, acutos Vide-
ri i quin etiam /i qui ingenio tardiores huius Audio fe de*
demt,/i nullam Vtilitatem aliam fufccperint, tamen hoc
affequimtur, Vt acutiores quam antea jint. Hanc ante
facultatem, cum intelligam ab innumerorum fcriptorum
ftylis appeti,ne dica lacerari, a paucisvero u&o Jiatis tra
di,plerifque omnibus centones potilis Arithmetices, quam
pracepta tradentibus. Cum. d teneris annis ad Matbema
ticas [dentias fuerim procliuis,ex quarum profefione a-
libi multis annis , hic Vero plu/juam triennium Vixerim ,
ac tandem fcholaflicorum efflagitationibus , ex pnuato
profe/for publicus in hocgpnnafio Valentino fuerim con
fiitutus , non potui iujlis eorum precibus non obtempera»
re,pr<efertim Mathematicarum /ciendarum primam au
/picaturus Cumq-, eoru m manibus ditlata no/lra circii -
ferrentur, eo nos adegerunt, Vt de . Arithmetica ea, qiue ad
Mathematicas & Astrologiam percipiendas, nece ffaria
cen ferentur, excudi permitteremus* Expen/is autem pe-
ne omnium cia ficorum auflorumMrithmeticis,cum pau
coram auflorum [cripta circa hoc argumentum exlent,
atque ijclsm pauca , atque non fatis elaborata , nec ordine

Matbema-

Mathematico compofuijj e videatur, compulfi fuimus ad
Euclidem ,Tbeonem,Troclum, i 'r prfcos alios Mathe-
maticos confugere , quorum [cripta nostris lucubrationi -
bus militum profuerunt , adqurt dfcenda auditores no -
firos prouocare defderantes, ex ipjis nojlr as Arithmeti-
cas inflitutiones excerpere decreuimus,ne autem demon -
fi rationum difficultate absterrerentur , paratu facilibus
probationibus vfi fumus. Methodum autem Mathema
ticam delegimus ,id Vitice curantes, Vt deguftata Mathe-
maticorum methodo, eos ad Euclidem omnium bonarum
difciplmarum magifru deduceremus. Quod (ifumptuii
in his cudendis iaila ale a, feliciter cejferitfitque par for
tuna labori, propediem quicquid re jiat ex Euclide ad A-
rithmeticam pertines,^ alia [cripta Mathematica , qua
eorum manibus circumferuntur, ad incude reuocata au -
Biora isr emendatiora edentur. < Vale. Calendis
Aprilis, anni M. D.Lxlj.

3 * Trudens lechr,quie in hoc libro contigere errata,
boni confule. non enim efl,Vt ait Salomon , homo qui non
peccet, nec vllus esi mortalium, tefte T linio, qui omnibus
horis fapiat. Acciderunt enim aliquot errata, fed fecun-
da manu operi admota, expurgata iam habes .

E^ATA.

/. folio, p. pdgitut. *.+er[u; 1. lege.

E menidis primum numeros feriei foliorum.
f ,4 p.t.v.i 7 .pro 9.I.27. ,v. 2 8 . 1 . tantum» f.y;j>.i.v. 4 .pro f 7 $.Ui$ 4 f

f.7.p.i.v.S\pro Chaldaeos,!. Hebraeos Samaritanos. f.8.p. a. I.quarta quaq$. f. 10.
p.x.l.Ksenan. f . i i.p.i.v. i. dele ad. f. i ftp. i.v.i.pro minor, 1. maior, f. 2x.p. i,
v.t 9,1. qui cffidiint, f. 2 j.p.x.v.i j.I.procft.funt. f . z y.p. 1 .v. 1 9.1.pro duas, tres,
f, lff.p. 1 ,v. 2 ? .1 pro liniUro, dextro, & poft dccufsis,adde:deindc ex notis numeri di*
ladendirrieftis 9>remjtienr 3 notanda in latere finiftro decufsis.quia.&c. f,28. p.i.
v.<r.Llinca,8Cdclc,duplmti 1. f.xS.p.x,v,4.1,t2o. £3 i;p. i.v. 21 l.cubici. £34,
p. t.v.xo.l. digitos. f 3 f.p.iiV. $'.1.97. f.3 y.p.t.v. 17.I prodiuifore, diuidendo.
£, 4 .t.P t.V!.i 8 . 1 . <s~ 3 .f.d-Q.p.i.v.g.pro minor,I.maior,f. y o.p.2.v.9.1,ex 7 1 947«-

7 h,

f. y 1 .p. t .V.4.pro fecundar.l. quartae, f y l.p.i.V. 1 5 . pro 3 dufta in f , 1 , 3 dufta
in r*. SCv.29.prodiuidat,l.diuidatur. f. y4.p, i.v.i 1. pro i.l . t . f.ycr.p.x.v.xSc
l.ac«pti. f.y9.p.2.v.i g.I.partilitcr. f.7i .p. i. v.7.pro antecedentem, 1 confequen
rem. v.8.proconfequentem,I.antccedentem. v.9 pro confequcntcm,!. antecedentem,
tlutescfc lineolas in tertio fchemrte prorfus vt in fecundo.

TABVLA ARITHMETICAE.

£ folio, p. pagina.

Primo libro cotinetur . Secud.libro cotinctur.

Arithmetica definitiones, pctitioa Principia quadam notanda ante
nes, communes animi conceptio t traHatu de partibus, f. 40. p.z.

nes. dfol.i, ufque adf.6. Probl.x.de inueniedis minimis nu
De notis cr fedibus numeroru.f.y. me. datarum partium, f. 41. p.i.

De enumeratione f. 8. p.i. Problc.z.dt inucnieda minimo nu
De notatione cuiufq ; num.f. 9 p.i. meromenfurato d datis parti»

Problema. s. de additionibus, f.n: bus. /.41. p.i,

p.i. Proble. 3. de rcduflianc partium

Proble.z.defubtradion.f.t4.p.z. ad alias cuiuslibet denomina*
Proble. }.dt multiplicatione, f.i 2 . tionis. f.4 z.p.i,

p.i. Proble. 4. de redudione partium

Proble, 4.dcdiui/ionc. f.zz.p.z. ad alias eiufdem denominatio*
Proble. %. de inueniendo latere te* nis. f. 42.p.z.

traganico, f.i6.pz. Problema, s . de multiplicatione

Problema. 6. de inueniendo latere partium. f. 43.P.1.

cubico. /31. p.i. Problem.S.dediuifione partium.

Proble.y.de inueniendo tertio pro f. 44-p.i.

portionali. f.jSp.i. Problema.y. de inueniendo latere

Problema.B.de inueniendo quarto tetragonico partiu. /.4j.p.2.

proportionali. f }8.p.i. Problcma.8. de inueniendo latere

Proble. 9 .de colligendis numeris cubico partium. f. 46. p.i.

gradatim procedentibus, f. )?. Proble. 9, de tertia parte propor*
p.z. tionaliinuenienda. f. 46. p.i,

Prob.io. de coUigedis numeris co Problema. 10. de quarta parte
tinuo proportionalibus. f. 40, proportionali menieddf.46.

p.i. f.2.

T A B

Probi ii. de inueniedis lateribus
numerorum altera parte Ion»
g iorum. f.46.p.z.

Ptoble. 1 2. de multiplicatione par
fiam AJlrottomic. f. 4jp.x.

Problc.i}. de diuifionibus carunt
dem. foz.p.i.

Proble.l4. delatere tetragonico
Aflronomicarm partium in»
utnicndo. f.sS.p.x,

Vroblem. 15. de Utere cubico ea «
rundem. f.6a.p.z.

Proble. \6.de quarta parte pro »
portionali inuemenda in parti
bus Aftronomicis. f.6z.p.x.

I ;b?o tertio cotinecur.

Principia quadam notanda ante
tr allatum rationii V proport
tionum. f.Pa.p.x.

Proble. 1 .ex nomine rationis mini
mos eius terminos imenire.fo.
68.p.i.

Proble. 2. qui inucniendi fmt datis
quibiify numeris minimi termi
ni eius rationis. f.68.p.z.

Propofi ;. geniti ex multiplicatio
nc unius in duos habent candent
ratione cuilhs duob.fgy.p.r.

Prop-4.quoti cx diuifione duorie
numer. per alique, habet cande
rationi cutdkduob.f. 6 p.p.i,

Vropof.p. geniti ex dudu duorum
in unii, habent eandem ratione
mnidis duobus, f.6p.p.z.

T AB VIAE

’ L A.

Propoftti.6. quoti ex diuifione ut.
Ilius numeri per duos , habent
eandemrationem cum illis, fed
alterius generis, f.6y.p.z,

Propof.j.datorum namcwit rat
ticttem inuenire. f.6$.p.z,

Vropoft.8.qui nofcatur ratio uni
altera maior. f.jop.i .

Prop.y. datas rationesin minimis
terminis continuare, f. ji.p.x.

P rop, 10 . datas rationes in unam
componere. f.jt.p.z.

Pro.i 1. datas rationes injlar par
tium componere, [ji.p.x.

Prop.xz. qui una ratio diuidatut
per alteram, f. ji.p.x.

Propofitio.x}. quifftfltr partium
una dematur ab aiterv. f.jj.
p.x.

P topo. 14 . qui w data ratione pnt
numeri quotcunq; minimi inite
niendi. f.j4.p.u

Propofuio. ij. cubicus medijtriu
continuo proportionalium, e»
qualis cftprodudo ex omnibus
interfefe, f.j4p.z,

Prop.i 6. qui inueniantur duo me
dia proportionalia, f.yq.p.i .

Propo/iti.xj.data una ratione co
poflta ex aliis duabus.qui initet
niantur 17 compofitiones ex
ea emergentes. f.jsp.Z.

Propofuio , 18 . qui datis quinq;
terminis harum trium rationis
fu ignotus inueUigadus. f.j6
pz.

FINI S.

INST1TVTIONES

J'l\lTHMETlCsE JD f Exci-
piendam yf/lrologtam , & Mathematicas
facultates nece/Jaru .

v G L r d es elementorii libros in Prin-
cipia , & Problemata* & Theoremata
diuifit.Principiorum duo genera funt.
V num eft ceu pars propoli tionis*vt de-
finitiones: alterum propofitio,qua’ co-
munes animi conceptiones , & petitio-
nes continet . Ex his tribus principijs*
nempe Definitionibus, communibus animi Conceptioni-
bus, & Petitionibus, Problemata primum, deinde Theo-
remata colliguntur , feu demonftrantur . Problema verd
vocauit propofitionem ad opus pertinentem , fcilicet qua
aliquid fieri prwcipitur, cuius prp dicatum latiuspatet fub-
ieflo. Theorema verd propofitionem, qua folum confide

ratur , feu expenditur aliquid , cuius pratdicatum propria
quadam pafsio eft fubiefti , idcirco cum eo conuertitur.
Procedit opus ordine dodrina', inde eft operis infpedio.
Prius enim fcias oportet , triangulorum genera deferibe-
re ; &: data» linea’ arqualcm aliam conftituere ad datum pun
dum,&: iineas,& angulos bifariam fecare,quam de quan-
titatibus^ atqualitatibus angulorum, &area; eorum cap-
tu differas. Sicin Arithmetica eft faciendum . prius enim
feire oportet colligere , fubducere feu abftraliere , ducere
feu multip!icare,diuidereq? numeros , partem proportio-

nalem,& radices quadratas, ac cubicas colligere, quam de
eorum affedibus feu proprietatibus demonftrationes coii

B nedas

INSTITVTIONES

nctSas. Itaq; Arithmetica eft ars fupputandi, Si affedus
attp proprietates numerorum expendendi.

?\INCITIA fHlMJ.
°i l>l ) Veldeftnitiones .

\T Nuas di, qua Vnumquodque eorum, qua funt, dic i-
V tur Vnum.

Ex cuiuscompofitione omnes numeri fiunt , & in eam
tamquam minimam partem omnes numeri refoluuntur.

Numerus eft, e x Vilitatibus compoftta multitudo.

Componitur autem numerus bifariam , autphyfice fcu
per aceruationem,aut Arithmetice. Compofitione autem
per aceruationem tria,&T fepte partes funt denarii, Arith-
metice verd duo, Siquinq; decem efficiunttnon autem tria
Si feptem.

Si igitur compofitioncm phyficam feuacerualem nu-
merorum corempIcris,oinnisnumerusautefl digitus, anr
articulus,aut compofitus.

: Digitus eft., quinis numerus denario minor.

Vti.2. j. 4 *$. 6 . 7 . 8 . 9 .

Nrticulm eft nu merus in circulum (quem gero aut ci-
fram Vulgus appellat)deftnens.

Vt io. 20, 30. 40. 50.60. 70. 80. 90. 100. Sic.

Numerus compofttus pbyftce ,per excellentiam dici-
tur omnis, qui ex articulo & digito conflat.

Vt 12* 36.&C. Nam in duodecim funt 10, qui numerus
eft articulus,& duo infuper.qui numerus eft digirus,com#
poftti omnes definunt in digitis.

Differentia

arithmeticae.

£

“Differentia numeroru eft id quo maior numerus mi-
norem fuperat, qui exce/fus dicitur .

Si ad Arithmeticam conipofitionem animum adhibeas,

'Pars Arithmetica eft numerus maiorem dimetiens.

Scilicet qui a maiore numero, qui & compofitus 8i mul
tiplex dicitur, aliquoties ratum continetur.

Partes Vero quando non dimetiuntur.

Id eft, qua: fimul fumptte nullo modo producunt ma io/
reni numerum.

Numerus par eft, qui bifariam fecatur.

V tpote qui ex a’quo in duo fine vnitatis fectione diuidi
poteft: vt4,<J.

Numerus impar eft , qui non fecatur bifaria , aut qui
Vnitate differta numero pari.

Id eft, qui ex a-quoin duo fine fraffione vnitatis diuidi
nequit: vt 3 .&s>

Paris numeri membra, fecundum Euclidem , pariter
par, pariter impar.

At impariter parem rescimus ab arte, quod fit inutile
recentiorum Latinorum poft Boethium commentum; cu
ius nec Euclides, nec Ariftotelcs meminit , fcdab Euclidis
interprete adqcitur.

Pariter par eft, qui d pari numero per parem menfu-
ratur.

Qiu tantum ex paris per parem duiSu fit , Vt 4 • 8 . 16.
Sic. duplicando.

Pariter impar eft, qui d pari numero per imparem tne
furatur.

B ii id eft

INSTITVTIONES

Id cfiyqtii ex piri per imparem fieri potdf,vr 12, nam Ii
cet fiat ex duobus & fex,qui funr parcs,quia fieri poteif ex
quatuor & tribus dicetur pariter impar, licet melius voca-
retur par impariter ; nam eit numerus par ex pari numero
per imparem procreatus, Euclides tamen hoc genus liu me
ros KfTiKKis m p t cnr iis, id eit, pariter impares,non tam eo.-
rum naturas contemplatus, quam veterum nomenclaturas
feruans,appellauit. Non enim funt hi numeri impar cs,led
pares.

Imparis numeri membra.

Impariter impar efi , qui ab impari numero per impa
rem men furatur.

V idelicet qui ex du£tu imparis per imparem fit, vt 9 . ex
j.infe ducto. Et 15. ex 3. in 5 • Scmper enim impar per
imparem ductus imparem procreat , & impar diuifus per
imparem in imparem refoluitur.

Trimus numerus , qni aliter incompofitus Arithmeti-
ce dicitur , c/l numerus impar , quem foh Vnitas metitur.

Quod idem eit ac fi dixeris, qui ex folius vnitatis dudtu
in impares numeros fit,vt 3.5.7, Hos enim numeros nun
quam effeceris, nifi multiplicando vilitatem in aliquem nu
merum imparem. At 9 non cft numerus primus, fit enim
aliter qudm ducta vnitate in noucnarium, nempe ex tribus
in fefe. Primus dicitur, quod fola vnitate, qure eit numero-
rum initium, menfuraturtreliqui non fecundi, fcd compo-
fiti dicuntur, alioqui tertios St quartos , & fic in infinitum
dicere oportebat.

Obiter nota, apud Euclidem definitiones has efferri per
verbum menfurandi, metaphora fumpta a gatodietis leu
agrimenforibus, qui agrorum latera podifmo fcudodra-
te,a ut alia minore meiifura, ne fractiones inter fupputan-

dum

arithmeticae.

i

dum obrepant, meriuntur.Numcris inPrar linearum conii'
deratis,vt fex menfurantur a binario & tcrnarioifit igitur b
lineaabfex. a c vna eius pars fexta, ad tertia pars, a e me/
dictas . Dico lineam a b a folis partibus a c . a d . a e , non g
autem ab a f, nec ab a g menfurari. Nam a c icxiesdu&a j-
efticitipfamab:atadtcrdu&acfficiripfamab,& ac bis
ducta efficittotam ab. Ataf neq;fexics,auttcrjautbis,
aut aliter duch efficit ipfam a b. Quare raeniurabitur linea “
a b i lineis ac, ad, a e; non autem a lineis a f, &ag . Pro» c
inde menfurari aliquem numerum ab alio,eft ab eo aliquo-
ties dufto procreari. a

Trimi ad fefe mutuo dicuntur numeri, qui fola Vnita -
te menfurantur menfura communi.

1 d eff, quibus pra*ter vnitatem nulla alia eff Arithmeti#
ca pars communis, vt 5 & 7. 7 & 8 ; atq; horum vterq; po-
teil efle impar,vel vnuspar, alter verd impar , Par tamen
Vterq; effe nequit . Tales enim numeri ,pr*tcr vnitatem,

Vtriq; communem pari numero, etiam menfura communi
menfurantur. Hos numeros etiam inter fefe mutuo in/
compofitos dixeris.

Compojiti ad fefe mutuo dicuntur numeri , qui nume-
ro aliquo menfurantur communi menfura.

Vt quatuor & fex , quos preter vnitate binarius vtriuf/
que numeri pars Arithmetica atq; comunis menfura meti#
tur. Item 2 &C 6 funt compofiti inter fefe, nam binarius ctia
a fefe dicitur menfurari : fit enim ex binario in vnitatem
duefo.

Numerus numerii multiplicare dicitur , quando quot
funt aquale sin eo Vilitates , toties compofitus fuerit qui
multiplicatur, i? fit aliquis numerus.

B ii] Nu-

1NSTITVTI0NES

Numerus multiplicans a Datims aduerbio profertur,
multiplicatus nomine numerali, vtter quatuor furit iz
ter dicitur numerus multiplicans , quatuor, TBoTkK.TrAcarict.*
id cff,qui mu!tiplicatur,vel vtrcccntiorcs dicunr,
numerus multiplicatus. Quiautem ex his duobus fit,pro-
dudusex multiplicatione appellatur . Si igitur velis lcire
quis numerus producatur, multiplicato vno numero in a-
Iium,c5pone numerum qui multiplicatur toties quot funt
rcquales vnitates in multiplicante , vt in dato exemplo ter
quatuor funtduodecim,componefeu collige in vnutn nu#
merum tres quaternarios fic, 4

inueniesqj 12. 4

4

12

Quando duo numeri fefe multiplicantes .efficiunt ali-
quem, qui fit, planus nominatur.

Latera Vero ipfius dicuntur , numeri qui fefe mutuo
multiplicant.

Ex definitione Euclidis conflat, numerum planum eutt'
dem omnino e fle, qui ha denus compohtus dicebatur , qui
8 C multiplex aliter dicitur •Differunt tamen fola relatione,
namcompo/itusreferturad partes, planusad fupcrficiem
feuad figuramicuius dua: tarum funt fpecies,fcilicet quao
dratus,& altera parte longior.nullam enim aliam figuram
numeri inter fefe ducli componere poffunt. Vnde non ca>
rctrcprehenfioue Boet hius,qui planum numerum, neglea
do L uclide,autignorato,definiuit,effe qui per fuas vnita/
tes defcriptuSjin longum, ac latum porrigitur . quali velit
dicere , qui in deferiptione fuperficiaria, feu figurali duas
habet dimenfiones, vel duo latera, longitudinem fcilicet,
& latitudinem : verbis ab Euclide differens, re aut vera

confisu-

Arithmeticae.

4

confentiens.Deinde vero numerum planum in triangula/
rem, quadratum, quinquangulartmjfcxangularcm , di in
alios infinitos planos pro ratione feriei numerorum diui-
iit . quum pratter quadratum, Si quadrangularem , nullus
fit numerus alius, qui fit planus. Nani reliqui carent longi
tudinis&Iatitudinis lateribus.Difponeenim o
triangularem 8i quinquanguIarenijVt vides.

Dico hos numeros no hobere duo latera , na o o
ternarrj latus non funt dux vnitates, aiioqui o

efficerent quatuor.nam quod erit aliud latus o

nifiduofSic in pentagono feuquinquangu- o

lari , fi demus duo ede vnuin latus , aliud ht q
tus effe non poterit quicquam pratter duo.
iamitaq; duo hatc latera no efficeret quinq;,
fed quatuor.

Quadratus «umerus plani numeri J]>ecies eft , fit que
ex aliquo numero in / eipfum ducto.

Vtpex 3.& j.qui fic deliniatur: cuius fi- o o o
gurx vnumquodq; latus eft latera circa o o o
eundem angulum inter feduflanumcrii no- o o o
uenariumetficiunt.Quadratusautem nume-
rus vulgaribus dicitur cenfus, 8i notatur a quibufdam n o
ta □ quadrati Gatometrici , ab ali}s vero nota hac -y .Eius
aute latus dicitur radix quadrata ,quat notatur fi c co a cos
fa, vel fic 2« vel fic

TShmerus altera parte longior efl,fecunda[fecies pia
ni, qui fit ex duElu duorum inaequalium numerorum.

Vt I2.fitenimex 3 &C4. vel cx68iz. itaq;duobus o o
modis poterit duodenarius in fuperficie figurari, o o
fic primar figurat altera parte lon« 0000 velfic o o
gioris latera funt 4& 3 . fecundat 0000 00

vero figurat 1 8i 6 , 0000 00

o o
Quan-

INSTITVTIONES

Quando Veto tres numeri multiplicantes fefe mutuo,
efficiunt aliquem, qui fit , [olidus Vocatur .

Vt corpora tribus conflant dimenfionibus,fic folidi nu
meri ex tribus numeris, tanquamdimcnfionibLis inter fefe
du£h'sproducuntur:vtter quatuorter funt }6. nam ter 4.
funt t2. at ter 12. funt jd.erititaq; jd.numerusfolidus.

Latera Vero em, Vt in plano numeris, dicuntur mune
ri qui fe ipfos multiplicant , vel ex quorum multiplicatio-
ne numerus folidm fit.

Vtin praecedeti exemplo latera funt 5.4.3. qua? efficiut
inter fe duda 56 .cuius numeri folidi alia funt latera prae/
ter fuperiora, nempe 3.3.4. vel 2. 9.2. vel 3 .6. 2, his enim
numeris inter fefe dudris femper fiunt 36.

Numerus folidus aut omnia latera habet a’qualia,& di/
citur Gubus,qui ab Euclide dicitur , a?qualiter a?qualis a;-
qualiter, vel fub tribus aequalibus numeris comprehcnfus.
Vt bis duo bis funt 8. ter tria ter funt 9. &c. numerus au-
tem Cubus notatur charaftere m . vel ficre : cuius latus
dicitur radix cubica, qua’ notatur ftc tV,

Atfi folidinumerilateraomnia fuerint inaequalia vtra/
que parte longus 5 fi vero duobus lateribus exiftentibus ae-
qualibus tertium fuerit inxquale , altera parte longus dici
poterit. Quod fi ad corpora folida conferas , ab eisqj no-
menclaturam hoegenus numeris inderevelis, numerus
prifmatodis, feu ferratilis dici poterit vterq; folidus nu/
merus ex inaequalibus lateribus conflatus . pra’ter Cubici
& ferratilis numeri folidi fpecies, nullam aliam uouit Eu/
didesifed nec e fle poteft . Nam fi comifceas tres numeros,
id eft,fi inter fe ducas,aut illi omnes funt aequales, & fiet ex
eorumdudu Cubus, aut inaequales: velomnesinter fefe,
vel duo funt a’quales,& tertius eftinaqualis.Fietq; nume
■ . .■ .!■ r " ' • rus.

ARITHMETICAE. 5

rus folidus logus feu ferratilis. Quare lapfus eft Bcethius,
qui diffjiirto numero folidbex-.trtbusdimenfionibus, quas
fil.eiiis vilitatum deferiptione habet idem cum Euclide,
quoad folidi numeri diffinitionem amnct,fentuiis. ]'ollca
luis non conffans principii* , numerum folidum diuilit in
Pyramidem, Cubum, Laterculum. A.iferem, Cuneum, &
Ci'rcuIurem,&Spharricum,&Parallelipedum . Cum 11011
pofsitrepcririnumeruspyramidalis.ncq; cuneus, neq; ctr
cularis (qui non effet folidus ,.fed planus : nam circulus in
plana c6fiftitfuperficie)neq;fpha:ricus.Trescnimnume>
ri qualefcuiiq;,fint inter feie multiplicati ,, nunquam effi-
cient pyramidem , neq;
cuneum , fcd tantum
ea genera que reccnfui, 6 j.

CublfiguuiilQ.

Habes figuras omniu
numerorft folidorum.

Namdq.eft cubus ex 4.

4. 4. At So.eff folidus
ferratilisdefcriptus.ex 4. 5,4. alter verd cxy.4.2.

Numeri proportionales dicuntur , quando primus fe-
eundi ^tertius quarti fuerit ^qualiter multiplex: aut
eadem pars, aut eaedem partes,.

Nempe qando quii habet rationemprimus ad fecun-
dum , eandem tertius ad quartum . V t ficut 4, ad 2 .ita 6,
ad 3,.qui numeri dicuntur, difcontinueproportionalesiaut
vt4.add.i1ad, ad 9.. qui continue proportionales dicfitur.
in quibus tamen Cunttres termini naturadiuerli.

Similes plani iy /olidi numeri Junt qui habent latera
proportionalia,

plano. C

INSTITVTIONES

Planorum fit exemplum. 12. cum fitcx. 3 &'.4.fimiliseft
4®cumfitex.6. &.5.nam vt fe habent. 3. ad. 4. ita. 6. ad. 8.

Solidorum exernplumjUt. 48. cum fitcx 2.4.6.fimiliseft
ipfi. 376. cum fitex,4.8. iz.navt ’.4.6.ita.4.8,i2.0mne*
itaq; numeri cubi inter fcfe furit finulcs.

ftrfeciui numerus e si, qui /w partibus aqualis e[L

Vt.6,&C.28.&c.nam partes fenarij funt. 3.2 .1. quae effi-
ciunt. 6. partes 2 S. 14.7. 4.2.1. qua: complent.aS.

Haddeuus Euclides SC Ariftoteles fpecies numerorum
pertraxerunt. Boethius vero adiecit numerum diminuti!»
trempe cuius partes minorem toto efficiunt, vt S.& redun-
dantem,cuius partes ipfum totum fuperanr,vt 1 2. qua: de-
finitiones videntur aratione aliena: . Qui enim dici poteii
numerus diminutus.fi fuperet fuas partes: aut redundans,
fi fiiis partibus minor fit ( Qua» caufa fuit vt ab L uclide 7.
lib . Elementorum prartermifsi fuerint. Item ab Ariftotele
3 Problemate fedlionis 1 s .ait enim a denai io contineri o-
mnia numerorum gcnera/cilicet par Si impar , paris fpcp
cies funt pariter par di (vt ego cenfeo nominandum)impa
riter p.ir.Qui fi definitur fre nempe cuius media aiqualium
partitionem admittut.fed partium in duo *qua partitio ci
tra vnitate deficit, vt Boethius fiuiuit , tum primus omuiu
impariter pariu eiTet- 1 2. qui fub denario n5 cotinetur, qua
de caufa tantii duo membra paris numeri approbauimus.
Rnrfus ait Aridoteles fub denario contineri.numeru qua-
dratum & longii, quem nos altera parte Iongu diximus.
Item cubum & longum, folidum &C planum.ot primum 8 C
compolitunv.omiiulit tamen Ariftotelespcrfcdiuin numc
rurn. Nufquam tamen apud ipfum, vel antiquum aliquem
Mathematicum diminutum , aut redundantem numerum
r . p ries. Mullus enim cx redundatibus numeris fub dena-
rio continetur. At omnes numerorum fpecies ab Euclide,

£C alijs

arithmeticae.

6

SC alifs prifcis Mathematicis defcriptas denarius fub fe co
pleftitur.

JETEMJTJ,

feu petitiones*

Petatur.

Cuilibet numero quotlibet jio ffe fumi dquales.

Quolibet numero aliquem poffe fumi maiorem .

Seriem numerorum in infinitum procedere.

Numerum omnemin Vilitatem minimam eius partem
refolui.

EnitatemjVt omne continuum, in infiniti i fioffe fecarU

Quae fe&iones fratflioucs dicuntur, vt -jt medietas , feta
femis-— triens, feu tertia pars f quadras, aut quarta pars.
Sic.

Ktivttltivsftti communes animi conceptiones.

Omnis pars minor e fi fuo toto, partes omnes fimul iun-
Bd toti funtdquales.

Quicunque numeri tertio funt dquales , fibiinuicem
funtdquales.

Si dqualibus numeris dquales adieceris, qui colligen-
tur erunt dquales.

Si ab dqualibus numeris detraxeris dquales , relin-
quentur dquales. ,

Si dqualibus numeris indquales adieceris, relinque^
tur ihdquales.

INSTITVTIONES

Si ab aqualibus numeris iiuequales detraxeris, relin-
quentur inaquales.

Si huequallbus numeris addideris aquales , remane-
bunt maquales : led fub eadem dijferentia.

Si ab inaqualibus nu meris dempferis aquales , relin-
quentur inaquales : fedfub eadem differentia,

Qficnnquentmeri tertio funtaque maiores, fihiinui
cemfwit aquliles. " ‘‘ 1 •

Jlequalesfuiit numeri, quindi) quotfuntVnitates in Imo
totidem funtin alio : maior Vero in quo ptures , minor tn
quo pauciores exillunt.

0 mnis pars eiufdem numeri eft minor , qua maiorem
habet den o minationem: maior Vero eft, qua mitiorem ha
bet denominationem.

V 'litas e ii e uiufltbet numeri pars ab eo denominata.

Omnis numerus tantus ejl ab Vmtate , quota parsip-
ftuseUVnitas.

Quicunque numerus ducitur inVnitatemfeipfum pro
ducit.

Quicunque numerus diuiditur per Vilitatem, feipfum
relinquit.

Qukunque numerus metitur duos,compofttum etiam
exiliis metietur.

Qmamque numerus metitur aliquem , omnem etiam
numerum ab illo menfuratum metietur.

Qujcim f

arithmeticae.

7

Q utcunque numerus metitur totum ,<& detra£lum' t
metietur etiam reftduum.

DE NOTIS S ET CB A-

racleribus numerorum,

Chalda’i,atq; Afsyrij,apUdquos perpetuas fuiftc [iteras
Plinius arbitratur, Iiterarum notas pro numerorum cha-
racteribus vfurpant.Quod etiam faciunt Hebrtei,qui fo«
iis iiterarum Hcbra-arum. charadctibus fup putationum
regulas omnes expediunt: vt docet Elias JLeuites in libro
de Hebratorum Arithmetica . Grati vero Iiterarum no*
tas pro numeris vfurpantes ieriei Iiterarum aliud genus
notas interijciunt,i;cc continua’ feriei literarunv,vt faciut
Hebrati St Clialdati numerorumordinem tribuunt . Ro-
mani vertiex notis Iiterarum numeroru notas fejegcrut,
nulla ordinis Iiterarum habita ratione . V nitatem ligua-
ruut per. I. binarium per. II, ternariumper. III. quater-
n .riu per. Illi, quinque per V. decem per. X. vigiutiper
XX- triginta .XXX, quadraginta per .XXXX.veljX.it.
quinquaginta per. L. ceru ptr.C. quiageta per. D. mille
per. M . Vnitas proxime pnepofitanora’ denarij fic. IX,
ei detrahit vnitatetn. Denarius praipofitus nota’ quinqua
ginta,vel centu detrahitdecciri,vt.XL.quadragirita.XC.
nonaginta , Nota centenaria proximeantecedens cliara-
dere quingentoru demit centum .Itaq; CD.ha’ dua’ no-
tie fignincat CCCC quadiingeros.Numcradi rationem
opera harum notarum Ioa. Nouiomagusinfua Arithme
tica explicat . V erum addendi St detrahendi ratio facilis
clt.ducedivcrd St diuidedi methodus non perinde obuia,
imo longe difficilior quam qux per notas vulgatas Arith

G iij mcticis

tNSTITVT IONES

mcticis doceri folet. Nota; vero quibus in hac Arithmcti
ca vtemur, neq; Chaldads.neq; Hebra-is, ncq; Arabibus,
neq; Gratcis,ueq; Latinis ad numerandum in vfu funt. Vi
detur vero potius poli Gothos ab Ita(iJ,Ge rnianis, Gallis
& Hifpanis vfurpatar , quae Ac habent i , vnuin . 2 duo , 3
tria,4,quatuor,quarta harum notarum etiam apud Chab
datos quatuor Agnificat. EA enim quartum alphabeti ele-
mentum. s , quinque. <S,fex.7, feptem . S, odo. 9, nouem.
Decima nota, o, ab Hifpanis & Arabibus zero, id eft, ni»
hil,aquibufdamciphra: qua: didio Chaldaice numerum
Agnihcat,ab alrjs circulus dicitur. H*c per fe nihil Ognifi
eat. Caeter um poApoAta numeros, quos articulos voca uh
mus,componit,vt 1 o, decem. 20, vigtnti. 30, triginta, Scc.
pra-poAra vero notis Agnificantibus, nihil efficit, vt ne
dicam perperam poni,

J) B LlMlTlftFS SEV

fedibm numerorum.

Limites fiue fcdes,Aue Atus numerorum funt ordines
quidam, aut fericsacieruminiiar ,qua* numerorum notas
decupla ratione adproxirne verfus dextra locatam copai
ratar.augenr.ex vno efficientes dece, vel centum, vel mille,
vel decem millia,&c. ex duobus verti viginri , vel bis ccn-
tum.vcl bis mille, vel viginti milia, Sic. Atq; li nuliter di-
cendum dcalijs notis . f^am eadem ratione crefcuut ipfa:
feries \ dextra verfus Anilira pergentes. Ac vt fedes qua:-
uis proxime verfus dextram praecedentem decupla ratio-
ne fuperctipraxiinrvcrd fequenti verfus Anillramdecu/
pia ratione fuperctur- In prima fede feu ferie nota nume-
rorum pro digitis, in reliquis vero omnibus pro articulis
accipiuntur. V erunt in fecudapro denionibus,torfdlicer,

quot

ARITHMETICAE,

$

quot vniratcs ipfa- not e fignificaurin tertia pro ceturijs:
in quarta pro miiibus.quo ordine femper verfus ftniftram
augentur . Quinta ltaq; fedes fubit ratione quarta' fcdis,
rationem denionuiii,ieci ratione fextar locum habet digi'
tonim.Sexta fcdes,/i ad quintam conferatur denionu ha-
betlocumdi ad quartam, centuriarum: ii ad tertia, milliui
h ad iecundam,decem milliudi ad primam conferas, cen-
tum millia reprarfentat, Septima fedes millies millia,id ell
millionem vulgarem fignihcat.Calfellani vocant cuento,
.quod uomen liguificat eum numerum, qui fieret ex mille
ductis in mille, cuius multiplicationis fumma colle&io fe«
ptem noras fedibustotide locatas dehderatfic 1000000.
Romani vero fupra centum mille, repetitis ccnturijs nu-
merant.

Velmeatiofedium numerorum.

Temo rain'onu,roilIio.i millics iuillvucctuniillia.4cnio tnn]ui,tniUr.cetuna.dfiuo.di|;u

Ve enumeratione.

Si notis Hebraicis, aut Chaldaicis, aut Grarcis fuppu/
Ies,non eges hac regula, quandoquidem , quarcunq; nota
numerum & ledem fecum prtefefert , nec ratione fedis fi-
gnificatum numerum decupla, aut centupla, aut roillecu-
pia ratione,aut alia maiore auget. Apud Latinos vero illa:
tres nota:, i .x.C, habent peculiarem rationem rmime
randi: nam ratione fedium augent, aut detrahunt. Sed no
amplius quam ipfa: per fefe fignificat,quod iam explicaui
mus, A recentioribus vero, enumeratio dicitur notarum
numerorii feruata fediu ratione valoris exprefsio . Qu*

non

INSTITVTIONES

non folum ad exprimendas vires charadcrum,& fediism
confert, venim etiam ad notadum proprias chara deribus
Si fedibusquemcunq; propofitum numerum. Si igitur ve
lis cxpiimere quarumcunq; notarum vaJoreni,fubfcribcs
lubquanoquoq; putidum. Primum pundum notat mil/ 1
Icifecundum , quod fub ftptimaincidet fede milies milia:
tertium, quod fub decima ponetur fedefignificabit milies
milia millies , Sic. Timiliter . Porro proximi numeri poft
punda finiflrorfum,deiiiones:at fecundi, poft punda hni.
itrorfum centurias fignificant.Sit exemplum,

8 345§79?7 Sf?SJ40 5.,
m.ni.m.ni.m.jnj.m.iTi.in.jin, m, m.j milies mille, j mille.

Hunc numerum fic exprimes, odoginta tria milies mil/
lia millies mili^ milies, quadi ingeta quinquagintafex mi-
liesmilia milies milia feptingrta nonaginta odo milies mi
Ea milies. fepringe nta quinquaginta fex rnilics mille. non/
genta odoginta tria milia. quadringenta & quiuq;.ln qua
enumeratione none o, Si. S . poli primum punctum imi-
ftrorfum,Sc 5 poli fecundum putidum, & ppoll tertium,
5 poli quartum , & S poft quintum femper exprimun*
tur per deuiones.o vero quia nihil fignificat nullo denios
ne expreffa cft. At S poft primum pundum.pcr odoginta,
qu:e i mu octo deniones,atq; ali* nota’ in eonfimilibus fe
dibus, poft panda locata, per deniones explicantur. Om-
nes autem terti* nota’ poftpunda, per centurias expri/
musitur . Quod fi Latini numerorum notas eiferre velis
fupra cen tum . miIIe,omnes notas per aduirbia,fed replica
tis centurijs proferes. Sit numerus Latine explicandus.,

teties rete na ceties.lcrcics ccrena.,ccnrcn.i. , mille, .

5 ^ I? 4(S 2 I 7 if. 3.

Collocabis

JNSTITVTIONES

9

Collocabisfubquartanotapundum,quod fignificat
mille/ub (extariora aliud, quod fignificat centena millia,
nempe centies mille, fubodaua ponetur aliud pundum
quod fignificat centies centena millia, fub decima colloca
bitur aliud quod fignificat centies centena centies : itaque
dices quinquies centies centena centies, vicies ter centies
centena quadragies odies cetena, vigin tifepte milia quin
genta fexaginta tria,qui numerus a vulgaribus latinis ex-
primeretur fic , quinquies millies millena millia , ducenta
triginta quatuor millies milIena,odingcnta vigintijfepte
ttiil!ia,quingenta fexaginta tria. Plinius tamen priore mo
do illas notas exprimeret.Nam de terra’ diniefioncages, iM-t- esp.
air,pars noftra terrarum ambiente Oceano velut innatas l0 %i
Iongifsimeab ortu ad occafum patet, hoc cft,ab India ad
Herculis colunas, Gadibus facratas, oduagies quinquies
centena feptuagintaodo millia pa (Tuum .Quem numeru
fepte notis exprimes fic S j 7 Sooo, qui numerus ad leu-
cas vulgares redudus, quarumquedibeteotinet quatuor
millia paffuum Gxometricorum efficiet 2 144 leucas cu
femifle. Hoc enumerandi ratio maximopere eft obferuau
da , vt Latinorum librorum numeri ad noflros conucrfi,
intelligi pofsint. Hadenus de enumeratione-

S) E NOTJTIONE

cuiuf que numeri.

Ex proxime procedenti capite folers ledor propoli tii
quemuis numerum fedibus & charadenbus propriis no«
tare poterit. Sciens enim qutd inter fedem numeri & eiu s
charaderem interfit quid per fedem.quidve per charadc
rem fit exprimendum facile confequetur . Verum in gra-
tiam tyronum, quibus nos accomodarc cupimus , nonulla

D fubrj

INSTITVTIONES

fubi}ciemus. Sedium vel limitu nomina funt, articuli de-
cupla ratione aucfi,vt digitus feu vnitas, dcccm , centum,
mille, decies mille, centum mille, niillies mille, decem mi!#
lies millia, &c. Secundum vulgares Logiftas: verum (ecu-
dum Latinosfunt, vnitas, decem.centum, mille, dece mil-
lia, centena millia, decies cetena millia , centies cetena mile
lia. Re ha’ fedium nomeclatura: nequaquam differunt, fed
nominibus folis. Sedes non exprimutur notis, fed reliqu*
partes numerorum. Sitexemplum, datur mihi vulgaribus
notandus chara&eribus numerus, viginti ofto millium
quingentorum feptuaginta fex . Primum numero hnius
nu meri fedes,qu;t’ funt quinq; ,nepe digitus, fenarius , dee
nio feptuaginta , centum quingenta, mille odto mille, de-
cem millia viginti. Deinde qu*rochara£lcres huius nu-
meri, qui nccelfarid totidem futuri funt, quot fedes Prima
omnium verfum dextram nota elf , 6 . nam fex vltimi loci
prarter primam fedem,fex continet vnitates. Secunda no-
ta erit .7. nam feptuaginta funt 7 denarij. In fecunda verd
fide qua-cimq; nota eit denionum. Tertia nota eft, $.nara
iii tertia fede quifq; numerus hecatontadcs,nempe centu-
rias fignificat : quare pro quingentis foliim in tertia fede
ponentur. 5. fic in quarta fede pro ofto millibus ponetur
S. quia ea efi chiliadibusdeftinara. In quinta fede denior
jiumpoif ciiiliadcsfcumilliariaponentur.a.namibi.z.fi'
gnificat viginti. Notatur itaq; datus numerus his quinq;
charadtcribus 1 8 571 5 . Caterum harc rudibus fatis efle
poterunt.

V\0'B LEM J

V dtos quoje unque numeros in Vnum colligere.

Quatuor problematis omnes ambages, difficilesci? quaf#

itiones

. A It r T H M E ' I C A E. 1 1

ftiotlts AritIimetica?,Gteometria?,Mufica:,Aftronomiar,
Cofmographix,ex tricantur: qua: vfqucacicci funi ncccl-
fariahis artibus, vt nullo non momento , aliquid adeas
pertinens meditanti fit cum rjs problematis obi flandu,
Sunt enim velutinffrumanta his artibus neceffa ia, Ea au
temfuntad additionemnumerorum,(qua:accruatioqua’
dameft,)adabflradionemad multiplicationem, ac eorun
dem diuifionem rpectantia. non delunt qui hac non pro-
blemata ,fed regulas Arithmetica’ praftica? vocent: qui
multis rationibus ab icopo Mathcmaticarumartium , Si
a veritate abfunt. Primum Arithmeticam vocantes pradti
cam: exiflimanres tantum duo effe artium genera, nempe
fpeculatiuum.quod & theoreticum,& quod praflicum di
citur.Quum antiquorum omnium fuffragiis, nempe Pia/
tonis, Ariftotelis,GaIeiii, Quintilia ni, artium genera prar«
cipua funtars fpeculatiua,cffe<3iua qua- 8i tvoitikh aftiua
qu* 8i ■ut^ktikh dicitur:comparatriccm verd vt pifcato-
riam.Sf venatoriam, & rcfarcinatricem feu veteramenta-
riam praetermitto. Effe&rices poftaflionem opus offen-
dere poffunt, vtfabrilis.prafHcatceiTanteaiffionc nullum
opus relinquuntjVt faltatrix 8i choreas duceudtars Quii
autem liate relinquarpoft adioncmopus,nopradica, led
effetrixefleteenfenda. Deinde aberrant a Mathematica-
rum artium, natura.nam quauis fuapte natura Mathema-
tica: fint theoretica:, ut Geometria, habent tamen proble
mata & rhroremata : problemate exquiritur aliquid effi-
ciendum, eius tamen opus adfpeculationem deftiuatur,
theoremate tantum proponitur aliquid confiderandum.
Taura problematum multitu do,qu:v in primo, & quarto,
8i iexto elementorum Euclidis libris reperiuntur , non
cuincunt Gpometriam effe effeiftriccm , quu omnium cal-
culis fu maximi poft Arithmeticam theoretica.Sic quum

D »j «n

'PUtJn ii <t.
qui G orgi,
dicitur.
AriB.li.t ■
Mctapby,
Ctlp.6.

Gatenuf.de

ccmfti.artis

Medi,

Quint.hb.

J.filp, io.

Dialogo 7.
dt iujlo.

D finitio
coHcftionif

f

Diuifto,

Expoftlio,

Appmtus.

'I*N STITVTIONtS

ia Arithmetica reperiantur problemata analoga illisquae
reperiuntur in Geometria, nuito modo eft dicenda, quate
nus circa additiones,& abftracliones>& multiplicationes
8i diuiliones verfatur,ha*c fcientiapraftica. Ali) verofcn
tentiam Platonis imitati Arithmeticam logifticam appcl-
lantifed 3 Platonis mente aberrant • Si enim doceatur ra-
tio addendi, detrahendi, multiplicandi, diuidendi, in folis
numeris, theorctica - , Arithmetica; problemata funt voca
da; verum fi ad mercium , aut aliarum rerum oculis fubie-
ftamm, fupputationes accommodetur, no theoretica,fed
logiilica e It cenfcnda.

pjeStin?,fcucolle<rtioeft numerorum copofitiophy-
fica,Ccilicet qua numeridati in vnam.fummam ,feu vnicii
numerum aequalem datis aceruantur . Quae ratio nume-
randi a.Vitruuio cofummatio dicitur.

Aut igitur proponuntur foli numeri eiufdem generis,
vt funt numeri per fe confiderati, aut numeri rerum eiuf-
dem generis (v terq; modus eadem, ratione expeditur ) aut
rerum diuerforumgeneru /intprimunumerirerueiufde
generis.a.t 30. anni quibus, vixerat Adam,.cumeinafce-
retur Seth filius, b. 1 05 .anni quibus vixerat Seth,quum ei
nafccretur filius Enosc. po.anni vita; Enos nafcente filio
eius Kamau.d.70. anni, vita: Kaenau nafcente filio eius Ma
hrlalhcl. e. 6 5. anni vita; Mahalalhel nafcente eius filio Ie
rcd.f. i62.annivit;vlcred nafcente filio eius Hatnoch . g»
6.5-anni.vifa: Hamoch quum nafcebatur filius eius.Methu
felah, h. 187.3 nnivitatMethufciahnafcenteLemech eius
filio. i. i S; .anni vita: Lemech nafcente filio eius Noah.K,.
dbo-anni elapfi a.natiuitate Noah vfq; ad diluuium . Sunt
hi numeri colligendi in vnam fumniam, vt fciamus i mun
di origine vfq; ad diluuiu quot peracti fuerint anni. Collo
cabis numeros maiores in fuperioribus|regiouibus (hoc

enim

II

AR.ITHMET I<J A E.

enim efl: comodius.etfi ad veritatem non mutat alterius ge
neris collocatio) itiprima (ede dextra datoru numerorii
digitos,in fecunda dcniones , in tertia ceturias, &carteros
fuis fedibus difpones verfus finiftrS procedens
fic.Coliocato primo numero, fecundi numeri K. doo.
notas digitorum diredU fub digitis primi nu^ h. 187.
meri:& deniones fecundi numeri fubdenioni# i. 182»
bus primi , & centurias fecundi fub centuriis f. i 6 z.
primi, &C millia fecundi fub millibus primi, 8 C a. 130.
ca-teros numeros fimili ratione collocabis fimi b. 105.
lia fi milibus, velut agmine quodam ordinatifsi c. 90.
mo i fupernis deorfum tendente coaptabis: d. 70.
duasqjparallelasfubfcribes. Hac methodo 0* c. 6 %.
mnibus numeris colligendi* difpofitis, inci' g. 6 s .
pies colligere i minimis(parua enim qui defpi^ l^^T 6 y 6 .

cit, magna non confequetur, atq; ex plurimis

infenftlibus fit magnum quoddam corpus fenfum immu*
tans)eos componendo ,autf»ngulisdefcendendoacerua-
tis,autafcendendo, autvtroq;modc(quodloco examinis
e (Te poterit) at numeri, totius, conflati ex digitis (fi fuerit
compofitus aut digitus fofum)digitos fmbesinrer lineas
fubfcriptas in fede digitoru : fi qui vero' fuerint deniones
pra’ter digitos,animo retinebis. Si verd numerus acerua-
tusex digitisjfueritarticulus.collocabispropriamnotatn
articulorum inter lineas, nempe, o. in digitorum fede:de-
niones verd eius animo feruatos iunges denionibus fecun
di limitis feu fedis . Omnibus denionibus fecundi lirriiris
colle&is aut fit numerus digitus ,.tum^j illemet inter pa-
rallelas notabitur fub denionibus : aut fit articulus , Sc re>
lentis animo denionibus , o, qua: elf articuli nota inter pa
rallelas fub denionibus collocabitur: aut flr numerus com

D iiij pofitus

; lNSTI TVT I OtIES

politus, feruatis animo dcnioibus digitos, notabis inter
linas fub dchjonum fede,colIedos vero deniones iunge*
tertiu fedis notis, centuriarum vidclicct,perfcquerisq; ca.
dem methodo, feruado femper animo deniones colledoj
ex notarum limitum Angulorum additione, donec vetuin
iit ad poftremum limitem AniArum,ex cuius notarum coi
k itione Seniones proucnientes, per fuos digitos Agnabfi
tu.'r proxime latuorfumipter lineas parallelas, vt indatis
numeris. 7 .2. 2.^.5. 5. funt 26 , qui numerus eit compoA-
tus ex ; denionibus,& 6 digito , poto proinde 6 inter pa-
rallelas fub digitis, Si feruo 2 deniones, quos iungo cu de-
nionum notis, nempe cum 8.8.<S'.3-9.7,<;.6.fiuntqj s 5 » qui
numerus eft compotitus ex s dcnionibusdenionum,(qui
funts ce muria;,) Sis dcnionibus.quipro digitis fumutur.
Notoitaq; hos 5 digitos dcnionurnfttb actc ^cnionum,
■Si lemo s ( 3 e!i)jotijes denipnu.m, id eft , s centurias , quas
iungo cum centurijs. d.ia . 1 . 1 i 1 . & proueniunt . 16 . ex
quibiis. 6. digitum centuriarum fub cenrutijs collocabis:
viium vero denionem centuriarunt, id efi, rniile fub quar*
ta fede inter lineas parallelas. Eriititaqj omnes illi decem
numeri aceruati 1636 anni qui funt ab orbis conflitutione
Ocmonftrd vfq; ad diJuuiujjr Quod ftc demortraturtllli numeri funt
r io. arquales, quando quot funt vilitates in vno,totidcm repe*
riuntur in aliojfed quot funt in . a. b.c d.e.f.g. h i.K. nu'
meris vilitates, totidereperitunur in L. nam digiti omnes
reminetes ex prima eorum fede, fimtiii prima IcdeipAuS
K,Si dcniomim ex ecrum prima Si fecunda fede colle do
rumdjgiti omnes funt in fecunda fede ipAus R. Si centu-
riarum ex fecunda Si tertia fede eorum collcdarum digi/
ti omnes funt in tertia fede ipiius K , Si mille coiieda cx
tertia fede corufuut in quarta fede ipAusK. Qua re quid-

ARITHMETICAE. 11

quideftin.a.b.c.d.e.f.g.h.i.K.reperiturin L,necaliquid
deeft,nec abundat. Quare datos numeros in vnuni numc- Co ii.lnfio.
rum co!legimus,quod erat faciendum. In hoc primo pro-
blemate explicando omnes demonftrationispartcsingra
tiamtyronum Mathematicariiad amufsim expofuimus:
qua: funtpropofitiO)Cxpofitio,diuifio,apparatus, demon Mb.i.com
ftratiojconclufio . De quibus fufifsime Proetus in primu manu.
librum Euclidis fcripfitjquKfunr propria Mathematico-
rum.nonautem Peripateticorum Nam Ariftoteles mif» •
quam fuis de Detnonftratiouc libris artificium Matheina
ricarum demonftrationumexplkauit.

Examen colli Itionis propafiice.

Si inccrpifti colligere fede digitorum figillatim defee-
dendo, proueneruntqj. 16. rurlus collige figillatim aicen*
dendoiqudd firurfus i 6 proueniaut, icito digitos refti
e fle colleclos.alioqui male, quaetiaitvratioire e xamiiiabis.
alias fedes . Quam inuerfanr iterationem loco examinis '
poiTcaccipidicebam.

V ulgare examen per noucnsrium fit , proceditur enim
figillatim iungendo iiotas numerorum colligendorum,
reiectisq? omnibus nouenarijs ,quod reliquu eir.notatur.

Deinde ex ipfa fumma,co!leiftis notis r.djciunrur notiena
rii - Qudd (i relifta nota ex fummaiiit atqaalAirot* reli<

<S;e ex numeris colligendis,exiftimatur vera colledlio , a-
lioquifalfa. Vt in propo ( fiio exemplo, reietfris houenarii*
ex numeris colligendis.relinquitur.o. fimiliter rejectis no
uenarijs ex numero colledlo.remanet. o. Quare cenfctur
vera coIledho.Hoc examen tres errores admittere poteit,
nempe fi pro ? ponas o * vel uicc vtrfa, vel imprudenter

inici

ARTITHMEICdE.

inijcias nouenarium,veI.o.in numerii colleflum, examen
erit verum, collediio vero lalfa 8i erronea. Omnia exami
na praeterquam quod fit per fubftra&ionem fde quo fe/
quenti pt oblemate agemus) erroribus funt obnoxia.

Quid agendum quando res addenda
Junt Variorum generum!

Tumconliderato num habeant communem aliquam
menfuram, vtannus,menfis, dies. Nam 30 dies efficiunt
menfem Aegyptiacum. n menfesannu.Itemlibra,que 4
noftris per £• notatur, folidus ^.jdenarius^ numus. Na
1 2 denarij e fficiunt folidii, 20 {olidi libra. Item quinta!, id
eft,talcntum,arrouanempe harheuij,id eft quarta pars fe/
cundutn Arabes & Hebratos. & libra, & vncia habent co
munem meniuram* Nam apud nos 12 vncia’ libram . 30
libra? arrouam, quatuor arrouae quintal efficiunt . Similii
terapud Aftrologosfignum.graduj.ininutum , fccundu,
tertium habcttnenfuramcommunem.Nam 60 tertia vnii
fecundum, 6o fecunda vnum minutum ,60 minuta vnum
gradum, 60 gradus vnum fignum phyficum efficiunt, aut
nullam habent menfuram communem, tum quaradidem
genus pertinent tradita methodo in prima parte proble-
matiscolligentur : reliquat vero alia colleftione in vnum
nu merum aceruabuntur. Similibus fempcr fimilia coap-
tando.

Si vero fint numeri diuerforii generum', habetes men-
furam communem, tum potentia crafsiores primum locii
tenebunt in finiftra parte, reliqui qui erunt mox pofteos
tenuiores,proxim^ verfus dexteram difponentur , atque
feritato hoc ordine tcnuifsimi omnium primum locum

iu dextra

1 Ni TI TYTIONES 1}

jn dextra occupabunt, Vt fmt colligenda; tercentum fexa-
gintaquatuor.Iibra:, quindecim lolidi, oAodcnarij. &
quingenta: feptuaginta* dua: libra: , decem & odio lolidi,
yndtcim denarii: Ce nongenta quadraginta libra: quiude
cim foIidi,decem denarii- Exprimes * i
datos numeros, vt vides in fchemate 364 $ 1 j g Sft
Edodius primum,inter denarios no s 7 2 s-i s e*i^s
polle collocari numerum 12 ,autco 9 40 ^ is '<$ 1 c
maiorem ,quia iam colligeretur ex 7"8 7 S £ 10 g j <F»

1 1 denariis vnus lolidus inter foli/ “

dos collocandus-Similiter inter folidos non pofle ac, aut
plures folidos norari.Ficret enim ex illis vna libra inter li
bras collocatida. Secundo, ex denarijs excerptis folidis,&
in fede folidorum notatis,remanentes denarios notandos
fub denarijs , & ex (olidis colligendas libras .liotandasqj
fupra primam fedem librarum : (olidos veror rlidtos fub
Colidisinterlineasforefcribendos.Hisnotatis,hanc col-
ledlionem fic abfolues, 8 denarijeum 1 1 ,& lofmiuliun-
Ai faciunt 25, denarios,ex quibus colligo 2 folidos, 8 C 5 de
Iiariosiquos noto fub denarijs infede digitorum. Soli los
veroduoi fupra 1.5 folidos. Deinde iungo digitos foli io
rum nempe 2, 5. S. j folidos fiuntej; 20 folidi,quonia vtreJ
libram efficiunt 20 folidi qui numerus in o definit, noto
fub 5 ipfamo,& duos deniones folidorum iungo cu. i.i.r
colligoq; ; deniones folidorum , quorum bini efficiunt
libri, quare noto duas libras fupra quatuor proxime poft
potam f . & ,1 denionemqui remanet ex quinq;, noto fub
denionibits folidorum, deinde reliquos numeros librarii
quia funteiufde generis, colligo prorfus,ytin prima par-
te problematis diA.fi eft : quare illae tres feries.numerprfi
diuerforum generum eandem tamen menfuram haben-

E tiunt

tHSTITVTIONES

dum colledta; efficiunt i 87 8 £ to g; y <£*).

Noucnarij examen folum habet locum in numeris r*
rum eiufdem generis, qui naturalem ordinem fedium fer*
uant,id eff, quando fedes decupla ratione augenrur.quar*
in folidis ac denarijs nullo modo exiges examen per no.
ir i) avios ,fed in librisiquandoquidem fedes librarum de*
cupla ratione augentur.

Jdrorfuseadem methodo fient mathematica; atq; aftro/
nomica* additiones .Sed priufquam ad eas expediendas ac
cedamus pa ucis opere praedum erit fecandorum corporu,
& magnitudinum mathematicis atq; aitronomis confue/
tum morem explicare . vt RomaniaiTem.in 12 vncias, fic.
mathematici corpus omne & lineam in 60 partes qua;!/*
xos-tet fexagefima: dicuntur : circulum vero in 360 partes
diuidutit : circulipartes gradusaur partes fnripliciterap.
pellittur.Quifq; gradus timiliter quaiq; fexagefima 11160
minuta , aut minutias feu fcrupulos fecstur , qua: Afarria
wfdVa: minuta prima dicuntur, & per.m.fuprafcriptutH
notantur ,quodq; minutum in 60 fecunda diuiditur, no-
la nturq; ptr,2 vnumquodq; fecunduin6o tertia, notatu
tur cj; per .3. atq; fic fexagccupla ratione vfq; ad decima
fecrio continuatur . Sifexaginta fexagefimasaur gradus
colligas habes vnum figuum phyficuin, jfeu vnum pri-
mum maius quod Grsci lj»xoi/ 7 <t</?«fcxagenam appellat
at 60 figna phy fica vnum fecundu maius ; 6ofecftdamaio
ra vnum tertium maius Sfc,

Collnfhirus iraq; aftronomicas fradtiones collocabis
fingulas fradiiones eiufdem generis in eadem fede fub
titulo eius generis , vt figna fub fignis, gradus ftib gradi-
bus, minuta fub minutis 8 Cc. Notabis pnvrcrea in limiti—
feu* numeroru qui digiti dicutufjVt in reliquis, vulgaribus

ftifjpu*

AUTHMETlfi A E. «*>

fuppuratiotiibus^olligendojeifedenionesjreliquos Vcrd

digitos quilupcrerunt notandos directe fub digitis inter
paralle]as,feruatos vero’ deniones jungendos proximis li-
mitibus denionit 3 facta q; collectione eorum pro lingulis
fex denionibus cile accipiedam vnain vuitattui, fractioni
proxime vcrfus finillram fequenti addendam , namfcxa
ginta vnitatesjcuiufcunq; fractionis efficiunt vnuin,quod
eit velut integrum ratione partium in quas fecatur, v 1 60
j valent t. 2, 602.1 irqfio.iri.i-gjdo.g. r.lignu,&.'c. At fex
detiiones funt do. quare pro 6 denionibus accipietur vnfi,
transferendumq; ad fcdcm digitorum proxime verfus ft'
Silii arn fequeutium,

Exemplum.

Secundum. fig. g m 2 3

20, 30. 56. 43* 22.

12. 48. 37. }0. . 48.

J(S. 54, 2 S. 3 6 . 57.

1. Io7 14. jT JT~

Snb titu|o.t-colle|li digiti faciunt 17. noto.y-inrerpa*
lallelasfiib digJtis,£Pfenio. 1 , datione, quem iungopro-
xime fequentibus denionibus,& colligo 12. deniones, id
*(i,bis.do.qua: efficiunt.2*.',nam6o 3. faciunt. 1.2. addo
itaqj duo digitis fecundorum,& colligo 1 1. pono igitur. 1
intet parallelas fub digitis, & frruo 1 denionem,quem ad-
do proxime fequeritibus denionibus fecundorum,& col-
go i3.deniones,nempebis. do. qua; funta m. & 1 denio-
uem locandum fub denionibus. 2. duo vero minuta , quar
«ollegi addo digitis. in. & fiunt 2 j mtponoitaq; 5 fub, 8.
8 i duos deniones addo denionibus minutorum,&colligo
12. detiiones m.id eff,2 g.niliilq? relinquitur notandu in»

E tj «<r

INSTITVTIONE*

ter parallelas fub?. . Deinde duos gradus colle&oj addo
digitis graduum, & fiunt 14 , noto itaq; inter parallelas 4
fub 4j& denionem colletfum addo denionibusg.& fiunt-
1 3 .deniones g,id eft,? .figna , notoq; 1 denioncm g rema-
nentem inter parallelas lub s.iungoqj a ligna collefta di/
gitis fignorum, fiuntq;. 10. fcribo.o.inter parallelas fub 6
8i denionem. 1 . fignorum iungo denionibus fequentibus,
& colligo 7 deniones fignorum,nempe i fecudum maius,
&. t. denionem fignorum, quem noto inter parallelas fub
3 at 1 fecundum maius noto inter parallelas proximem
fus fimftram, fub titulo fecundor. ltaq; tres propofiti nu-
meri efficiunt. 1 .fecundum maius, to.figna. 14. grad. >m
11.1.7.3.

P B L EM A S ECVNV FM.

^dito numero numerum quemuis minorem fubtra-
bere.

K^a^co-if,quar fubtraftio i Latinis dicitur, eft collatio
minoris numeri cum maiore confiderata differentia ,qua
minor ik maiore fuperatur.qua: fubtra&ione minoris i ma
ioreinuenitur . ltaq; quemadmodum in quantitate conti»
nua,dum queritur quantitatum differentia, verbi gratia,
vilius linee ab alia,vna alteri admota partiliter quoad vnu
Vtriulq; latus coaptatur , qua: fi atqualcs funt,prorfusper
omnia latera fibi mutuo rcfpondentes nulla alteram exce-
dit. Si vero coaptatisipfiscx vno vtriufq; latcrc.reliquala
te ra partiliter non coha:reant,fed vnum alteri promineat,
l!'ud exceffusdicitur,fcu earum differentia, ficin numero/
rum fubtraciiouc faciendum cft. Maiori enim numero fu-

perior*

ARITHMtTICAL

'S

periore femper loco conflituto, minor coaptabitur. E0 au
tem minor .numerus ille, cuius nota omnium vltima ad fw
niilram di maior, aut fi illa’ fuerint atquales: ille cuius no-
txpropinquiores potirem* /iuillrae funt maiore*.

Si prtponantnr numeri per /e con/iJerati, autrerum
tiuj tiem i generis.

Tum fubtrahendus numerus maiori admonebitur , fic
Vt digiti vnius fub digitis alterius , & deniones vnius fub
denionibus alterius, OC fedes vnius numeri fub fimilibus
fedibus alterius coapten tur. Deinde fubfcribes illis tres pa
rallelas,vtinter duasfuperiores differentia numerorfi,in'
ler duas inferiores examen fubtraiftionis feribatur.

Sit ab a numero fepte millium oifrin
gentorum & trium fubtrahendus b nu
merustrium milium feptingentoru vi-
gintiquinqj .Notetur numerus maior
in fuperiore loco charadleribus vulga-
ribus.cui feruata fedium ratione fubcri

a- 7 8 o 3

b. 3 7 * S

c. 4 o, 7 8

d. 7 8 o J

batur miiior,qui fubtrahendus dicitur,vt vides,fub no/
tatis tribus lineis parallelis . Deinde 'aufpicare i digitis,
fubtraheus j. a. 3. quod cum fieri ueqtieat, nam i minore
numero maior fubtrahi non potefhquareaddeipfj 3, vitii

j .at i 5 . v fq; ad denionem funt 5,qu* addita numero fupe
riori efficiunt. 8. notanda fub digitis inter fuperiores pa* ■
ralielis . H*c ratio prorfus eadem eft cum fuperiore , fed

E iij differt

denionem, fietqj 1 ?. a quibus fubtrahe j. ix remanent 8.
qu* notabis inter fuperiores parallelas fub digitis, (poteft
aliter fiippleri feu addi ille denio fic, a . 3. no poffunt demi

. 1NSTITVTIONES

DfltWDfiM

Cia.

differt hoc folii, qudd primum fubtrahirur 5 i decem , i k
deindcadditur numerus fuperior differenti* , qu* e it iu-
ter s,& to.H*c methodus eff expeditior. prior taiuetieft
euidentior. Poftquam numero maiori addidiffi denionem,
illum reftitues numero fubtrahendo: fedtantumodoaddi
ra vnita teipfis.2. nam cum .2.fintin fede denionum, ii ii*
lis addatur vnitaj, fient tres deniones.Tamundcrncpaddi
tuinerit maiori, quantii minori. Rurfus fubtrahe hos tres
denionesi o. quod cum nequeat fieri, addatur iterum dc-
nio numero maiori,a quo fubtra liantur j . dcniones 1 & re/
manebunt 7, notanda inter parallelas fuperiores fub duo/
busi» fede denionum. Deinde reliituo illum denionem,
quem addidi (edi denionum, id eff, vnam centuriam nume
ro minori, nempe ipfi 7°.fiuntqj Si.ccnruriariquibus fubtra
fiis ab. 8. nihil relinquitur. Quare inter fuperiores paralie
laifub.7,:noto.o.deindefubtrahoa7.ipfa. ■}& relinqufitur
4. notanda inter parallelas fuperiores i 11 quarta fccjf ia

abfolutafubtra.ciione remancrnumcrusc.quatuor milliu
feptuaginta odo , qui eff differentia inter datos numeros.
Quod autem h*c differentia neceflario debeat remanere,
demonftratur ficuantum additum eff numero. a . quarum
numero. b. nam numero, a. quoad fedes digitorum, & de-
nionum addidi duos deriionesivnus qui fedi digitorum ad
icctus eft, tantum reprafentat dccem.-alter, qui fedidenioa
mrni additus eff,denio eft denionum , id eft, decies decent,
nempe 100. Quare adieci unmero maiori 1 10 • Numero
Terei minori totide adieci. Nam nor* y,qu* eff centuriatu
addidi vnitatcm,qu* 100.1'n ea federcpr*fentat,not*.7.
quae effdcnionum, addidi vrtitate,qu* 10. in ea fede fignifi
cat, quare totidem 1 10 addidi numero maiori . Sed ab.a,
«wmrro 7S2J, additis uo.fubtraifco.b.numero 5725 . ad-
diti»

illTHMtTICAt, 14

ditis 1 lo.remanet differentia, c, 4075. vt operatione ipfa ps
ruit, Quare Ii ab. a . numero 78 13 fubtrahas.b. 37as,rem5e
bit diiicretia .C.407S. Nam per communem animi concep
tionem.fi inaiquafibus numeris addideris arquales, rcma*
nebunt inarqualestfed fub eadem differentia, quare eadem
eft differetia numerorum. a. &.b.fiueadieceris vtriq; 110,
fiue non. Hoc aurem confirmatur examine. Differentia du
orum numerorum intequalium addita minori , arquat nu-
merum maiorem:fed fi addas, b. numero minori differetia
c,id eft, colligas 3715 cum4078,inuenies.d.numeru 780J
aequalem. a. 7803. Quare a dato numero maiore re&i fub
traxi minorcmjquqd erat faciendum.

De examine.

Hoc examen vfui effe poterit additionibus, quod a vul*
garibus regium dicitur , q'udd nullisfit lapfibus obuoxiu.
Ommitriturenim ex numeris colligendis fuperior tiume
rus,f*da principali collectione, qus eft omnium numero-
rumideinde colliguntur reliqui numeri pratter illum fupe
riorem,numerus verdeX hac fecunda additione conflatu*
fubtrahitur ex principali fumma; harum vero duarfi fum/
marum differentia debet fuperiori numero reijdto tequa.
ri,aIioqui error accidit in colle&ionum aliqua.

Exemplum examinis regii tn additionibus» . 4

■ . t- s 7 i

' ■ »■■#’ 9 <

■■ • • : ■ 4. o. ! S 2. ■

Summa principalis 13 5 s 77 "
Summa feeundajqua: demitur a principali 9 9 7 s-
Differentia. 3 s~7~' d.

Colligo tres numeros datos in vnu nuineru 1 3 5 s j.

Volo

ExJWfft.

t IN-STITVTIONES

Volo examinare num fuit bene collecti , ommiiTo fupre-
mo numero colligo duos inferiores, qui videtur edicere
997 5 '.quos demo a priore fumma, videlicet a i 3551. &, fu
peTfunt 3 S7<S. qui numerus eft aiqualis fupremo numero
ommilio, ex qup couftat vtranq; colieflionc e fle accurati.

St Vero numeri fmt rerum dtuerforwngeneru m,
communem menfuram habentium.

Tum conftituto maiore numero in fuprema regione, r*
ru crafsioru numerisad fmiftram, tcnuioru vero ad dex.
tram notatis, feruato earum ordine , ti fubfcribes minos
ris numeri rerum genera fub fuperioris fitnilibus generi-
bus, nempe digitos vnius generis inferioris numeri fub di
gitis fuperioris congeneribus, &c. Incipicsqj fubtraftio-
nem i minimis, &C quando nota vna ab altera fubtrahi no
poterit mutuatu vuurn integru proxime crafsioris gene,
ris addes tenuioris generis numero, a quo poterit j 5 y;i
fubtractio,& ab aggefto numero fubtraiies inferiore, &c.
Exemplum.

traho. 26,^. 17.^8, ^i|.di- demo 17.!^!..

gero bos numeros , vt vi- TlifferTtia o 7 ^

desfubfcriptis tribus p»-7555TliT.7rC"<'.^

raI(elis,dicoa.6 ,11011 pol- — -JLS

funt fubrraiii S addoproindeipfis 6 . 1 folid.fiuntq; 1 S . ^
i quibus fubtradlis S. remanent jo denarij collocandi in-
ter fuperiores parallelas fub denariis (vel quod ideiheft
a.d.nonpofiuiitdemi. S. fed 8 poffuntdemiab vnofoli-
do,id eft, i lidenarijs.&remanet 4.qui iuinfti cum 6 effit

ciunt

ARITHMETICAE. 1J

ciunt. to.vt prius)quia vero addidi vnum folidum nurne-
rofuperiori/ii reitituo numero inferiori,& colligo i8. ji
quos non polium i i s. <%: dcmere.quarc eos demo ab vna
Iibra.idelf.azo. % &Z remanert 2.quiiun<3i numero fu-
periori efficiunt 17. ^notandos inter fupremas paralle-
las fub (olidis, quia verd addidi fuperion numero 1 . $ . ea
reftituo numero inferiori, & ex 26. efficio 27. J quaru 7.
non poliunt demi ex 4.fuptrioribus,demltur proinde ex
10.& remanet J. quibus iungatur /f.fupremae libra: &rc-
manent 7.notida: fub d.inter fuperiores parallelas, & re-
ftituo i denionem,queaddidiipfis 2.fiuntq; j. qua: Ii de-
mantur ex 3. fuperioribus nihil fupereft. Differentia itaqj
datorum numerorum eft7.£. »7. ^.lo.^.qua: ff adda-
tur 26,£,t7.g;.S.,£Vefficiet 54.^. 1 s.g. 6.ft.

Eodem modo fit fubftraSho J/lrologicis
fupputationibus,

Sinti S.fig.tS. g. 32. in. 15. ». 18. j.fubtraheti/

da. J. 40- 28. 37, 2 6.

Difpoijes hos numeros iic. lignum. grad. m. 2. 1 .

6 28 32 ij t8.

3 4 o_ 28 37 2 6.

Incipio i minimis, 2 48 si.

fcilicet i tertiis , 6 28 32 15 ~Ts.

atque ab8.demo

6.8C fuperfunt 2. 3. notanda fub d.J.inter fuperiores pa-
rallelas, deinde fubtraho 2. ab i.quod non polium facere.
Quare addo ipfi i.fex deniones tertiorum, qui efficiunt

F vim

INSTITVTIONES

vnumT.&i 7.fubtralio remanet s. notanda inter fu-

pcriores parallelas fub 2. (vel fic 1 . no poffum demere ab
1. demam proinde £ 6 . denionibus mutuatis qui funt vnu
?.& relinqufitur4.quibusaddofuperiorcm numerum 1.
& fiunt s-quod idem eft) deinde addo 1,2. mutuatu ipfil
7 .& fiunt S. quos cum nequeam demere ex 5. demam ex
jo.&remanebunra.addendaipfis 5 -fiemcj? 7,notadafub
7.intcrfnperioresparalleIas;&: reflituo denione inferio-
ri numero, & fiunt 4. deniones, quos demo 46 . mutuatis
denionibus,& manent 2. quibus addendus eft numerus fu
perior, & fiunt 5. notanda fub alijs j. & reflituovnumifi.
iequenti8, & fiunt?. demendaa 10. & manet i.addendu
fuperiori numero, & fient 3, notanda fubS.rcftituo mox
Vnum denianem,& ex 2.fequentibus efficio 3. quas demo
4 fuperioribus 3 .& nihil remanet,quare nihil eft notandu
inter parallelas fupcriorts fub 2. Deinde ab 8.demo.o. 8 i
remanent S- notanda fub.o. deniones yero 4. proxime fe-
quentes fubtraho a 6 . murudacceptis,poflquam42,non
poflunr dcmi,& remanet 2. qui funt addendi luperiori nij
mero/dlictt 2.& fiunt 4. notanda fub4.inter iuperiores
lineas parallclaSjdeinde reftituo 6.deniones,grad.mutud
acccptos,ideft,i.fignumipfis 3-& fiut4.quibus dempti*
4S.fupcrfunt2.f]gnafub 3. notanda. Peracta fubtradtio^
aicmcolleftio differentia: & numeri fubtrahendi veram
elfe offendit. '

Innotdtio, In Aftronomicis fubtradionibus,(i prarcipiatur nume
rus maior a minori fubtrahi (quando ho.c inanifeltum eft
fieri non polTe)addetur minori vnum. integrum , nempe
totus circulus, id eft, 6 .fignaphyfica,& 4 toio numeroco
flatOjUifiubtraflio.

Pro-

i

ARITHMETICAE.

TT^OBLEMJ 3 .

Datum numerum per alium quemuis multiplicare.

Multiplicatio ii GrecismfacrnrMiriatr/toe dicitur.Nu-
gnerus numerum multiplicare dicitur, quando quot funt
pquales vilitates in ipfo,totiescoponitur multiplicandus,
& fit aliquis numerus. Quare tres numeri,confiderabuu-
tur, quorum primus dicitur multiplicandus, ab Euclide
vero multiplicatuSjfecundus multiplicans , tertius , qui fit
ex multiplicatione duorum priorum, qui& produ&us &
procreatus dicitur. Habet fe igitur multiplicadus ad pro/
ductum ex multiplicatione, vtvnitasfe habet ad multi-
plicantem , SC permutatim, vt multiplicandus fe habet ad
vnitatem: ita produ&us ex multiplicatione ad multipli-
cantem, vtfi ducas 4. per J.fient 12. quatuoreft numerus
multiplicandus 3. multiplicans,! 2 . eftproduttus ex mula
tiplicatione; dico, quam rationem habet 4. ad 12. eandem
habere i.ad permutatim, quam habet4.ad 1 .eandem
habere i2.ad 3.multipIicasfolctperaduerbiaefferri,mul
tiplicandus & produftus ex multiplicatione per nomina,
vt ter,quatuor,funt duodecim, f ereft nmltiplicas,quatuor
multiplicandus, duodecim productus ex multiplicatione.

Primum multiplicaturus, fcire debes digitos omnes in-
terfefe ducere, hoc eft,quem numerum quifq,- per alterum
du&us efficiat. Quod fcies facillime, fi mete tenueris qua/
dratos omnes, eorumqj radices vfq; ad loo-deinde adden
do aut detrahendo interiacentes digitos, inuenies fine ca/
lami ope quod dsfideras.

F ij Exem*

INSTITVTIONES

Exemplum. Radinume.quadr.

Volo fcire odies noucm,quot efficiat. i — i
Hoc omnino ide fignificar, ac ii dieas, 2 — 4

odo noucnarij , vel octonarii nouem, 3 — 9
habes in hac tabella,nouicsncuem,feu 4 — 16
nouem nouenarios efficere numerum 3 — 2$
quadratum 81 , i quibusdeme vnum 6 ■ — 3 6
nouenarium,& remanent 72. tot iraq; 7 — 49

funt odies noue Quod fi inuertas no- 8 — 64
uies odo, id eft, nouem odoiiarn,dices 9 — 81

animo fic , odo odonari} , funt 64. 10 — 100

quibus adde vnum odonarium& fient 72. quod fi redo
ordine pro!atis,non inuenias quot efficiant, inuertes & tu
fortafsis commodius inuet>ies,vt fi proponatur odies fe/
ptem, quot iuntj 1 inuertes fepties odo, quotfunt ? nam
vtroqj modo prolati, ide efficiiint,nerope 56. vel ficfacics.
Si quatratur.quot efficiar fepties odo, fcribe 7. & 8. inea<
demfedevnumfupraaJterum,deiii- 7 \ / 3
de dic a 7 . vfque ad 1 o. funt 3. nota- 8 2

bis itaque 3. ad latus dextrum ipforum 5 6

7,deinde dices ab S. vfque ad 10. funt j .qua: notabutur ad
latus dextrum ipforum 8 . ad harc duda decuffc , vt vides.
Dices terduo funtd.qua: notabuntur fub 2. inter lineas
parallelas, deinde fubtrahesaut 3 ab S.aut.2-a7.& rema-
nebunt 5. notanda fub S.quareinuenics feptierodo effice
re <;6. Deinde fciedum multiplicatione fieri numeros mul
tiplices planos, S£Arithmericec6pofitos,& numeru mul
tiplicadu Sf multiplicate e/fe latera numeri produdi ,qui
ante dicebaf multiplex, planus,& Arithmetice copofitus.

Mul

ARITHMETICAE. I?

Multiplicaturus efficies multiplicandum cum, qui fue-
rit maior, quem in fupretna regione collocabis • tgo vero
breuitatiscaufa , folitusfum eum facere multiplicantem,
qui iu prioribus limitibus dextris circulos itu cipliras lia*
beat,floccifacicns,num fit maior.a» minor. Scripto nume
to multiplicado per fuos limites.multiplicatis digitos po
nes fub digitis multiplicandi, & deniones vnius fub denio
nibus alteriu 5 '& reliquas notas in propriis fedibus.

Autigitur multiplicas aliquem numerum per digitum,
tutper articulum, aut per numerum compofitum.

Quando fit multiplicatio digitis, quid
e Ji agendum l

Qlnt multiplicandi 34S,per 6 , qui numerus 3 4 S
Oeft digitus, collocabis 348,111 fuperiori re fi
gione 8c 6, fub S,infede digitorum , 8t fub- i o S 8
feribes virgulam, cum itaq; idem fit dicere fexies tcrcen-
tum quadraginta odo , ac liate omnia fimul, nempe fexies
tercetum,& fexies quidragiuta,&' fexies odo, duces pri
mfifex per 8, 8C liet 4$,qui numerus efteompofitus ex 4,
deniombus,& S, digitis notandis fub 6,&animo retinebis
4, deniones; deinde duc fex per 4,& funt 24, quibus addes
4 J aIios deniones animo retentos & fiunt28,ex quibps 8,
notabis fub 4, & retinebis animo 2. deniones denionum,

id eft,duascenturias,deinde duces < 5 ,per 3 ,& fietiS, qui-
bus addes 2. centurias animo retentas, & colliges 20, qui
numerus definit in ciphram. noto itaque,o, fub 3 ,& duos
deniones cemuriarum,id cit,? , chiliadas icriboin fcqueti

f iij lede

Annotatio.

Diuipo.

institv.tiones

fedehcuorfum.Quare fi ducas 6,in j4S,prouenietioSS,
nam fi ducas fex in S,funt4 8,fi ducas 6,in 4jdeniones feu
iti4o,funt 2 4,deiiiones,ideft,24o, 4 8

fi ducas 6 , in 3, centurias, funt 1 8, s 4 o

centuria’, id eft, 1 800, qui numeri i 8 o o

colle dii efficiunt 2 o S 8 , aqualem 208 8

priori,quodficdem6ftraturfit, a 300 e 40 d8b
a b linea 348, diuifa in j [ | |

tres partes , fcilicet in b d, g ' g f c

qua: cotineat tales 8, partes

quales a b,3 4 8,8< in d e,quat cotineat 4 o, partes, & in e 3,
qua: contineat 3 o o,partes,fitb c, linea non diuifa 6, qua/
liumtota a b eft 3 4 8,dicoquodfitredlangulumextot*
a b in b c, nepc a b c h, aequale eft tribus redlangulis fa diis
ex linea b c, in partes tres linea: totius ab, quae funt bd.
d e. e a, nempe redlangulis b d f c. d e g f. e a h g, vt patet
ex ipfa figura,quemadmoduni habet 1 , propofiro 2, libri
elementorum. Nam fi fuerintdua: linea’ , quarum vna in
quotliberpartesdiuidatur,i!Iud quod ex dudlu alteriusin
alteram fit, aequum erit, ijs qua: ex dudlu linea: indiuifa’ in
vnamquamqj partem linea: particulatim diuifa: redtan-
gula producentur.

C oroUriim l ,ac dcmonftratione datis quibufcunq; charadleri-

bus numerorum, cuiufuis lingu», haud erit difficile mul-
tiplicationes, quasuis abfoluerc.

Quando fit multiplicatio artiuilistfuid efi agendum?

O Mnino eadem eft ratio, fcd in gratiam tyronum fuit
multiplicanda 3 d,pcr ro,difpone vt vides datos mt

meros

r NS TI T V r I ON E s

20

meros, duc primum c,per 6, Si producitur,o ) & 3 6
rurfus duco, per >,& producitur o, deinde duc 1 o
1 dn 6. Si producutur d.notada in fede denionii, 0 0

nam denio du&us per digitos procreat denio- _ 3 _£.o

nestot,quotfuerintipfi digiti, quare 1, denio dutfus in 6 .
digitos,procreatd,deniones.ldeo d,notanda funt infede
denionum, deinde duc i,in 3,& fiunt 3, eadem rarione no
tandain fede centuriant. Colledi numeri efficiunt 360.

Rationes confeindendi has multiplicationes,
qua: jiunt per articulos.

S I numerum aliquem duxeris per 1 o,addesilIi.o.eritqj
perafta multiplicatio, vt decies 3 d,adde.o.&. fiet 360.
Si numerum aliquem duxeris per 1 00, addes illi duas
oo.erirq; faifra multiplicatio. Vt centies 3 6, funt 3600,
iimiliterqj quotiefeunque duxeris aliquem numerum per
articulos , i quibus denominantur limites , additis tot ci«
phris ad dextram numeri multiplicandi, quot habet arti-
culus d quo fit limitum denominatio, erit peracta multi-
plicatio.

Si duxeris numerum delinentem in ciphras per alium
definentumin ciphras.multiplica notas iignificatrices da
torum numerorum inter fe,&produ<do numero adde tot
ciphras,quot terminat mulriplicandfi &multiplicatitem,
tritq? gadla multiplicatio, vt ii ducas 300, per >00, duc 3,
in 3,& fiiit 9, cui addes quatuor ciphras fic,? 000 o.quare
fi multiplices 5 00 per 3 oo, fiut 90 000. Si numerus mul
Siplicaus folumdeftnatinciphram,multiplicabispcr no*

tas

ARITHMETICAE.

tas fignificatrices relidis illis , qua: funt in fine cius dex«
trorium,vtfi ducas 8 6, per 3 oo, ducito 3. per 8 6, fiunrqt
2 5 8,quibusadde ciphrasmultiplicatis,id eft,duas,erutq;
258 00.

Ex prima propofitione 2. lib. elementorfi multfiiuua-
tur animus ad multiplicandi! fnic calamo . Na fi no pote*
his regulis animo numerum tot fi multiplicare per alium,
diuide in partes vel multiplicandi, vel multiplicantem vi
debitur magis expedire : erit au te comodius.h refolualur
in articulos, & fidis fmgularfi partifi multiplicationibus
colliges carum fummas,habebiscp fummam totius mulli*
plicationis.Sunt animo multiplicandi 2 8, per 3 5. Coni*
modius refolues 3 5,in tres dcniones Sc dimidium , dices
itaq; decies 2 8, funt 280, qui numerus ter accipietur 8i
eius dimidium,& funt 9 8 o.Poterat haec multiplicatio fie
riftc.duc 3s,in 5 o,8C per prxcedetesabbreuiationes funt
1 o 5 o,» quibus deme bis triginta quinqj.id eft,7 o, ( qui*
hoc additum eftob commoditate multiplicationis) &. re-
manent 9S0. Solers autem leflor iux ta praecederes regu-
las meditatione iugi compendia multa inuenict.

Quan do fit multiplicatio per numeros com-
po(ilos,quid efl agendum!

Htc propo Eadr e!} merliodus,qua'propofitioni huic nititur, fcili

fitio rtdct C e t Sj vna linea in altera ducarur,& vtraq; in quotlibct par
tx.i./tam te jq Uom odo!ibetfecerur,quod fitex totis lineis reflan-
di Itb.Ens. g U if 1>at q Ua | c tot reflangulis,quot fiet ex numero par-
tium ynius lincte duflo in numerum partium alterius. Vt

fit.

b

fit a b: linea qua: ducatur in a
lineam b e. faciet rc&angulum
a b e d. diuidaturq; a b. in 5.
partes & b e. iu j- fient itaq;

du&o numero partiii linea: ab. dl ! ILI | e

innumerum partiumlinea: bc.11empe5.in j.is.redban-
gula.qux fimul fumptafunt aequalia toti rcftangulo a b
c d. vt patet ex ipfo fchemate.ln eo enim funt 1 5, refla li-
gula facta ex dudtu partium lineae a b.velxqualiiilinea/
rum,in partes line* b c. ve! in lineas xquales eius partibus
per 54-ptimi. Sic quando multiplicatur aliquis numerus
per numeru copofitii, collocatis digitis vnius, fub digitis
alterius, 8C denionibus vnius, fub denionibus alterius , &
exteris notis fimili ratione, duces digitum multiplicantis
per omnes notas multiplicadi,primamq; notam cx dufiu
digiti multiplicantis in digitum multiplicandi collocabis
fub digitis , reliquas vero feruato ordine vtrfus fmiftram,
yt di&ii eft. Deinde duces deniones numeri multiplicatis
per omnes notas numeri multiplicandi,^ primam notam
prouenientem ex denione multiplicantis in digitum mula
tiplicandi feribes fub denionibus ( quia denio ductus per
digitos procreat femper deniones ) reliquas verd fuo or-
dine verius finiftram notabis. Deinde centuriam multipli
cantis duces per omnes notas multiplicandi, primamq;
notam produftaro ex duflu centuria? in digitos multipli
cantis , notabis fub centuriis ( quia centuria ducta per di-
gitos procreat centurias i reliquas notas ex aliarum nota/
rum duftu per centuriam multiplicatis,feruato li mit u or-
dine,verfus finiflram notabis,&c.

G Exem/

-305

_4o4

1 2 20
12 20
I iJiTo

INSTI TVTIONES

Exemplum,

Sint ducenda
per — _

duco 4.per 5. fiunt 2o.fcribo 0. fub 4. in

fcde digitorum, &C feruo duosdeniones.

Deinde duco 4. pero. & nihil proue-
nit, feriboitaq; 2. deniones feruatos
fub0.Dcindeduco4.in 3. 8 C fiunt 12.
qua? noto fic,vt 2. collocentur fub 4. At t. in proxime fe*
quenti limite fiiiiftrorfum . Adhatc duco notam o . per
omnes notas numeri multiplicandi,qua? quum nihil pro*
creet, nec (itiaprima fede, prorfus omittitur, nec opuseft
ciphram aliqua feribere. Pratterea duco4. nempe tertiam
nota multiplicatis, qua? eft centuria per 5 . digitos, & pro-
ueniunt2o.ccmuria?,quare fcriboo.fub ceturiis, & (eruo
2,deniones centuriarum, id eft,’ .millia. Deinde duco 4.
pero. & nihil prouenit, quare addo 2. millia qua? feruaut'
in fede millium , deinde duco 4. per 3.fiuntqj 12. notanda
in proprijs limitibus. Deinde adhibeo duas linea spara!Ie<<
las,&: colligo numeros inter lineas fuperiores, & inuenio
ex dudu 305. JU4o4.prouenire 123220.

Examen [>er mutuarium ♦

Deme nouenarios ex notis numeri multiplicandi,
ejuumqf nullus exiftatautconftari pofsit, poneS. lupra
8 dccuftem. Kurfus deme ex notis multiplicantis
ni:merinouenarios,quumqjnullusfit,iiiimade
* 1 cuflenotabisS.ducS.pcrS.fiuntqj^.cuiusno-

8 uenarios ft rejjcias, reliqua erit 1 .notanda in dcx.

trola*

arithmeticae; II

Iro latere decuflis. Quod fi ex numero produfto ex ipfa
multiplicatione, rcmimeat etiam i. eiedlisnouenarijs, vt
rematiet , multiplicatio eff redte peracta , & i . ponetur in
latere decuffis fiuiftro. Hoc exame totidem modis fallere
poteft , quot examen per nouenarium in additionibus.
Vera ratio examinandi multiplicationes, per diuifionem
fieri debet, fcilicct, ut diuifafuinma multiplicationis per
multiplicantem, prodeat numerus multiplicatus, qui 8C
roultiplicandus,aut diuifa per multiplicandi!, prodeat nu/
merus multiplicans.

QuU agendum quando res diuerforumgenirum
proponuntur multiplicandi

Si habeant menfuram communem , refoluanrur ad mi'
nimum genus,& tum fiet multipIicatio,vt diditi elv in hoc
tertio problemate : vt fi quis comparauit 42. tritici mett'
furas, /ingulas 3 £.8 g>.6 denarrjs,conuertat 3 <f.in< 5 o
quibus addet S g.eruntqjdS ^.quos ducet per r2,fientqj
8 xd.denarrj.quibus addet djr^.eritq; totus numerus pr*^
tij fingularum menfurarum 822^. per quem multipli/
cabit 42 .mefuras,eriintq; 34 S 2 4 $*)■ qua- efficiunt 143 p.

pretium, fcilicet42.menfurarii tritici. Idem aliter
tribus multiplicationibus. Ducat 4 *. perd, denarios ,Sd
fient 2 S2^,ideft,r £. 1 %.■ Ducat 4 2. per 8 St fient
3 36 ideft, 1 6£. 1 6 ^ 5 . Ducat 4 2. per 3 ^.fiuntqj
t ^.colligat modo i &.i <0- 1 126 £.eruntq;
143 ,f . 1 7 £^.. Idem aliter fieri docebitur, quando de mub
tjplicatione fradtionum agemus. Si Aftronomica: fra-

G ij diionc*

INSTITVTIONSJ

ftionestam multiplicadi,qu}m multiplicantis numeri ad
minima genera refoluantur, pollent hoc modo multipli-
cari , fi de nomenclatura prouenientis fractionis coftaret,
fed quia hxc denominationum ratio pendet ex multipli-
catione fractionum , proinde ad propria loca eas relega/
mus.Quado res multiplicandf diuerloru generum men-
fura caret communi,tum tot multiplicationibus funtfup/
putanda?, quot habent genera. Quod fi aliqua fradlio
multiplicando, aut multiplicanti adhatreat, quando de fra
Itionum multiplicatione agemus, latifsime quid fit agen-
dum explicabitur.-

T %0 <B LE MJ 4.

Datum numerum qimk alio minore diuidere.

Ms picruos diuifio i Latinis dicitur. Que-
adrnodum compofitionem Phyftcam , quam additionem
vocabamus.excepit mox problema fubtraftionum , quae
ad Phy ficam refolutionem fpeftabanr. ita poft compofi-
tionem Arithmeticam, qux dudu multiplicandi in multi/
plicantem fit, diuifionis problema (quatrefolutio numeri
in fuas partes Arithmeticas exifiit ) confefiimeft traden-
dum. ttquum corpus aliquod ab anatomicis fecatur, in
membra maiora primum, vt caput, crura, brachia fecatur,
deinde Jiarc membra in partes alias roinores,rurfus ili* in
fimilares demum diuiduntur: fic numerus Arithmetic*
fecandus , primum in partes maiores , deinde in alias ali-
quantulo minores, demu in trunimas,id eft, digitos diuidi

debet.

' ARITHMEt IC AE. 2}

debet. Mutud autem multiplicatio, & diuifio fibimet re-
fpondent. Numerus is qui ex multiplicandi per multipli'
cantemduflufitjVicesgeritnumerimenfurandi ac diui-
dendi : multiplicandus refpondctdiuifori, multiplicans
vero parti numerali feu mcticnti , quae diuifione cxqui-
ritur(,quam vulgares quotum SCquotierem numerum ap/
pell.tnt)aut vice verfa.Na multiplicandus & multiplicans
funt numeri metientes numerum diuidendum; quare fi
diuidas productu ex multiplicatione per multiplicandfi,
proueniet multiplicans :Si vero diuidas cum per multipli»
cantem , proueniet multiplicandus , vt quotus , feu pars.

Quare ftcut fe habet diuifor ad vnitatem , ita diuidendus
ad fuam partem: vt ft diuidas iz.pcr4 prouenient 3 , qua
itaq; rationem habet 4.ad 1, eandem habent 12. ad 3. Eli
autem diuifio compendium abfiraciionis . Nam diuidere
1 2. per 4. eft expendere quoties pofsint a 1 2. auferri 4.

Si velis diuidere integra per alia integra arqualia , fem» Annotatio.
per numerus diuidendus debet e fle maior, aut aequalis nu
mero diuifori.alioqui nullo modo fecari poterit,quod me
furari ab Euclide dicitur. Vertim longe aliud elicum fran
gunturintegramam tum non foliim maior a minore, fed
& minor a maiore } vt duar pertica? potiunt diuidi a fex di»
giris, Si dux quinrx a tribus quartis. Tum enim quatritur
ratio, quam haber numerus maior ^aempe diuifor, ad mi/
norem diuidendum,dc quo fuo loco diccrur.

Aut igitur diuidirur numerus maior per digitum, aut Dtai/io,
per articulum, aut per numerum compofnum.

Diui/io per digitos.

Omnis numerus qui diuiditur per vnitatem, feipfum
relinquit,vt fi diuidas < 5 . per i.proueniuntd.Naquicunq;
numerus ducitur per vnitatem,feipfum producit.

G iij Quievi

1NSTITVTI0NES

Quicunq; numerus diuiditur per 2. bifariam , id eft, in
duas «equas partes fecatur,qua’ medietates,feu femiflies di
cuntur. V nde iit vt medietas denominetur i binario.

Quicunq; numerus diuiditurper 3 .intrientes, fcu ter-
tias partes fecatur,vnde triens -i- lic notatur. Similiter di
cendum de diuifrone per alios digitos.

Sintdiuidenda 3 2 8per2.difpone,vt vides .1
fubfcriptis duabus parallelis. Diuiforem vero 2(328
notabis, vel ad latus 3, vel fub ternario, diccscg , ^ "4,

in 3 quories continentur. video contineri

femel,& remanere 1. noto inter parallelas fub 3. 1 . 8 i 1.
quod remanet fupra tranfuerfa virgula deleo 3, deitt
de dico,quoties continentur in 8 i cotinentur fexies,
noto itaq; 6 . fub 2 .inter parallelas, & quod nihil remaneat
ex 1 2 . deleo 1 2 .Deinde dico, quoties continentur 2 , in 85
& video cotineri quater, noto 4. fub 8. inter parallelas, &
deleo 8. nihilqj remanet diuidendum. Proinde concludo
3 2 S fi diuidantur per ? .prouenire 1 6 4. nam toties conti
netur binariusin 328.

Idcmaliter,fintdiuidenda9o 3 7. per 5. 14. t,
dico quinta pars?. eft. 1 .notandum poft vir 9 o 3 7I1 8 07
gulam, relictis 4>fupra p.notadis , 8 i deleto
p.Dicoquinta pars 40, eft 8, notanda mox poft 1. SC cum
nihil fuperftt deleo 40. Deinde quinta pars 3 . nullum inte
grum efhquare noto o. poft 8. manentibus 3. intadis, De-
inde dico, quinta pars 3 7_eft 7. qua: notabuntur poft o. Si
duo remanentia fupra 7.fcribcntur, & virgula fequeftra-
buntur,tanqua numerus ,quiabfq; vnitatu fradione per
f.nequeatdiuidi. Dico igitur, fi 9037 diuidantur per $•
prouentura s8 o 7 integra,rdidis 2 .integris frangendis,
feu fetandis in minutiaSjVt in s.diftribuipofsiht. Notatis

autem

arithmeticae.

24

autem 2. fupra virgulam, & s. inferius fic -f- frangentur
illa duo integra rehdta,& dabutur cuiq; ex 5 -f-dua: quin/
rar partes vnius integri, na cum fin t duo integravnoquoq;
fedtoin 5. quintas, colliget quifq; ex $.~

Diui/10 per articulos.

Diuifurus aliquem numerum per 10. demes ab eo di-
gitum, quem fuperponesipfis 10. interiedra linea vt fidi/
uidas 36S. per io- reliquentur :nam ft ducas 3 6, per
10. fient 360. quibus fi addantur S. fient 3 6S.

Si diuidas per 100. demes duas vltimas notas dextras,
8f quod reliquum erit, ipfis 1 00. interpofita linea fupra
lcribctur,vt fi diuidas 3<S87.pcr loo.prouenient 36^,.

Simili ratione fi per quemcunq; articulum a quo limites
numerorfi denominantur, diuiferis, a numero diuidendo
detrahes rot dextras notas, quot habet diuifor ciphras,SC
fupra pofitis dextris notis diuifori,jnteriecta linea erit fa/
cta diuifio.

Si verd diuidas per alios articulos intermedios, vt per
20. 30. 4C. 200. 300i&c. Dctra&is a numero diuidendo
rot notis dextris,quot diuifor habet ciphras,reliquum di/
uides per notam fignificatiuam : quod fi nihil relinquatur
ex ea diuifione,detraftas notas collocabis interpofita li-
nea fupra diuiforem , quod fi aliquid fuperfit, illud iunges
detraflis notis, fed fer uatis limitibus. Vt fi diuidas 8 2 6 .
per jo.derradto d.remanent 82 .qup diuidesper 3.&pro/
uenient 2y,reliilfa 1 . fupra2.notanda,*qua? cum 6 fequentis
limitis efficiunt id.quare colligo ex diuifione S2d.per 30.
proucnire

G ii ij De

INSTITVTIONES

De numero limitum quos habiturus efl numerus quotus,
Je it pars dimetiens numeri dissidendi.

Antequam aggrediaris diuifionem numerorum per
numeros compotitos ,conftare tibi debet, quot notas feu
limites fit diuifor cuiufipdiuifionis habiturus. Siduas no-
tas ratum habeat numerus diffidendus, & diuifor tantum
vnam , aut lingula’ notat diuidcndi numeri funt maiores,
aut ntquales, aut non, nota diuiforis. Si fint maiores,
aut aquales , conftat tum numerum quotum duas notas
habiturum,vt fi diuidas 7 8. per i.aut 77. per 7,tuc quotus
Vtriufq; diuifionis duas tantum notas habebit. Nam vna/
quatq; femel fecari poteft per notam diuiforis , &C quoties
fecari poteft, tot notas quotus numeruseft habiturus.

Si vero diuidendi numeri notae omnes non fint maiores,
nec a-quales notae diuiforis, fed vna fit maior , altera verd
fit minor : fi ea qua’ ad finiltram praecedit fit minor ,tum
numerus quotus folum habebit vnicam notam. Vt fi diui
das 69. per S . numerus quotus erit S. relictis 5. Si verd qup
praecedit ad dextram effet folum minor nota diuiforis,
tum quotus habebit duas notas, vt fi diuidas 96. per S.quia
in 9 . femel continetur S. & remanet t . denio , qui cum fe-
quenti nota efficit 16 inquibus S. bis continentur. Quare
in95. continentur S. duodecies.

Si diuidendusnumerus habeat2.notas,&: diuifor toti-
dem, quia femel diuidi poteft totus diuidendus per diui-
forem,tum quotus habebit vilicam nota. Vt fi diuidas 96,
per 1 i.prouenient S.Quod fi tres notas habeat d/uidedus
numerus , £i diuifor duas, fi prima ad finiftram diffidendi
numeri fit maior prima ad liniftram diuiforistaut fifit

«qualis

ARITHMETICAE.

4 ?

kqualis.dummodo fecunda diuidendi numeri non fit mi-
nor fecunda diuiforis.T unc diuidendus admittet duas fe/
ditiones, SC proinde quotus habebit duas notas : fi verd
qua: fecunda e ft poti primam ad finifiram fuerit minor,
vt prima> dua fi mitra diuiforis fimul fint maiores primi®
duabus finifiris numeri diuidendi, tunc vnicam folumad#
mittet fe&ionem. Vt fi diuidas S i j.per 8 j. tunc quotus
habebit vnicam notam, & erit apparatus diuifionis talis,
Vt 8 diuiforis collocetur fub 2 diuidendi. 8 251

Sidiuifor habeat tres notas, diuidendus verd 8 jj
quatuor : fi tres nota- diuiforis a tribus prioribus finifiris
diuidendi pofsint auferri, tunc quotus numerus habebit
duas notas,vt fi diuidas s 3 8 7,per 4 S 5>.qudd fi nequeant
auferri, vt fi diuidas s 3 8 7 per 5 4 1 • tunc quotus habebit
vnam fe&ionetn, eritqj collocatio notarum diuiforis fub
notis diuidendi talis , 5 3 s 7

Quod fi diuidendus habeat quinq; notas , 5 4 *

&diuifor tres, qua pofsint demi a tribus prioribus fini-
ftris numeri diuidendi, runc quotus haberet duas notas,
quarum prima.quj per fedione inueniretur e flet ce ruria,
fecuda denio,tertia digitus: alioqui fi non pollent auferri,
tantum haberet duas notas quotus, vt fi diuidas 75765,
per 8 s 3. tuncdifponerenturnumerific. 7 5 7 6 5 l

Nam ex hac prima difpofitione vna coi- 853 |

ligitur feclio, qua: per vnam nota fignatur: quia verd gra
datim nota: diuiforis funt permutanda: verius dextram,
& vfq; ad lineam eft tantum vna fedes,tantum fiet vna per
mutatio notarum diuiforis , ex qua colligetur alia nota.
Quado enim nota digitoru diuiforis gradatnn per fedes
mutati peruenerit ad notam digitorum diuidedi numeri.
Eunt nulla alia reflat ex diuifione colligenda nota.

H Exeme

INSTITVTIONES

Exemplum diuifiom per numeros compofitos.

Examen. , I

Sint diuidencia45 S4 periJj. (4

conflat duas notas diuiforis non 1 5 1

potfedemi aprioribus duabus fi/ 3 7(8

niftrisdiuidendi numeri, &expra’/ 45S47 2-i|

diftis quotum numerum habitu/ 653

rumduasnotas,dcnionumfidliccr 6 o

& digitorum, & priorem futuram Examen. ,_)

notam denionum. quia Cefiione prius proueniiit i | 5
partes maiores, deinde minores, contra quam fit o

in compofttione. Dico igitur in 45 , quoties continentur
6 P ,SC video contineri fepties, nam fepties 6,funt 42, & Cu-
perfunt 3 ex 5. nam totus numerus 42 exhauritur ; illa 3,
qua: cx 3 fuperfunt , fingo eiTe Cupra s, quat cum fequenti
nota 3 , efficiunt 38. nunc exploro an ex 3?pofsint demi
fepties 3,quarecumpofsintauferri,not0 7.poft virgulam
qui funt 7 deniones, quoties continentur 63 in 45 84?
poflquam exploraui tatum pofle notari 7, duco 7 per 6 3,
& fient 44 1, qua’ demo ex 4 s S,& remanent 17 notanda
Cupra notas, vnde fadta eft Cubftradio. quare deleo omnes
notas nempe 45 S,8d 6 3. vel fic facies, quod efl compendio

CiuSjCedobCcurius. Duc7.in 6.diuiCoris,& Cunt42.qua?fi
demas ex 45 , remanebunt 3 Cupra 5. Deinde duc 7 per 5
diuiforis,& fifttaj.quod fi demasa 38, 2i ,remanebiit 17.
deletis omnibus praecedentibus notispraerer 1 74.muto
inde diuiforem gradatim verfus virgulam, & 6 noto
fub 7 remanentibus, nam Cub r,qu* remafitnonpoflum
collocare 6. quia ab ea 116 poffunt demi- Deinde exploro
quoties poCsimdemere ex 1 7, 6, & video pofle demi bis
tantiim,dCreraanere Catis inagnu numerum, vt ex eo demi
, pofsine

2(5

T AHITKMETICAE,'

pofsintbis 3.noto2port:7jScdyco2 per 5 ; ,& funt I2d,
qua: li demas ex 174 reliqua erunt 4X notanda fupra
dudtis lineolis fequcftrada. Vel fic,duco 2 ind,& funt 12,
qu» demo ex 17, & remanent 5 fupra 7.6C deletis 1 , 8 C 7.
duco rurfus 2 in funt d, qua: non podiim demere a 4,
demam proinde ex 10 , Si remanent 4,iungenda cntn4,&
funtS notanda fupra4. 8 i 1 quod mutuatus fum demo i
5 , 8 C remanent 4, notanda fupra 5. quare vt antea remanet
4S. qua’ per 62. non poifuntfecarijqu* fupra virgula feri-*
ptafubnotatis 6 3'efficifit quadraginta odo fexagcfsimas
tertias vnius integri.

T)e examine per p.

Iuxta diuifionem deferibes deculfem, & iunge notas
diuiforis,& fiiitpjqua: rejiciuntur, & in ima deculfepono
o. deinde ex notis numeri quoti compofnis fiunt 9, qua:
reficio, &C noto o in fuprema decuife.duco vnam ciphram
in alteram 8 C nihil efficitur, (Quod fi fuilfent nota: figni-
ficatiua: ex eo quod fieret dudla vna in alteram reiecilfem
9 , &C reliquum iunxiifem cum numeris relictis , qua: non
potuerunt diuidi & reie&is nouenarfis relictum notaflfem
ad latus dextrum decufsis) Nunc vero quia ciphra addita
4-S.uihxI cfficitjideo ex 4 SC 8,iunctis reficio 9, & remanet
3 notanda in latere finiftro decufsis.quia vero nota lateris
dextri eft «qualis nota: lateris fmiitri, pronuntio diuifto«s
nem recte fadtam.

Examen Verum.

Verum examen fit per multiplicationem, nam diuifio
& multiplicatio fibi mutuo refpondent,vtrefolutio&
compofmo. Duc numerum quotum in diuiforem & pro/

H i) duiSo

INSTITVTIONEJ

du£to adde numerum reliflum,& fi proueniens numeru*
fuerit *qualis numero diuidedo jtum abfq; dubio erit re-
cta diuilio, vt in dato exemplo duc 72 in 6 3 , St proueniet
4536, quibus adde 48, qua- remanfcrunt,& fiunt 4584.
qui numerus eft a-qualis diuidendo.

Demum noranduminterdiuidendum,femper numeru
relidium poft vnamquaniq; diuifionem,diuifore futurum
minorem. T oties enim a diuidedo auferendus eft diuifor,
quoties in eo poteft contineri. Proinde relidtus numerus
ipfo diuiforc minor debet effe : quod fi contingeret con-
trarium, fcilicet auteoeffet maior, aut *quai.is, tunc con-
tingeret vtrumq; examen effe verum,diuiftonem vero no
effe accuratam feu praeciffam.

<2<I10<BLBMJ 5 .

Dati numeri latus tetragonicum, autipp,
propinquum ametur e.

Euclidem, qui poft numeri plani definitionem quadra-
tum definiuit imitati , mox poft multiplicationes, St diui-
fiones de Uteris tetragonici , feu quod ide eft, de radicum
quadrarariiinuemione agemus. Quadrati numeri forma
perfefle quadrata delineari poffunt,vt 4. p. 16: qui fiunt
ex dudtu alicuius numeri in icipfum,

Vt4.ex2.at7.ex 3. id. ex 4* numeri
ex quibus fifitper multiplicationem,
latera & line* & longitudines St ra 0
dices eorum dicuntur* o o

Fiunt autem quadrati numeri ex naturali imparium na
merorum progrefsione, ex tot fcilicet imparibus fimul

iuntfis

000

000

000

arithmeticae.

*7

iutl(Ttis,quot habent ipforu radices vnitates.vt fi colligas

j impares

*• 3 | S | 7 1 5» |

1 l

li 1

»5

«7

j quadrati

4 \ 9 1

}6

4 9 \

64

IJi

| radices

2 |5 1 4 1 5

6

7

8

J 9

duos priores,impares fiunt 4,qui eft quadratus ex 2 . fi tres
priores,fiunt 9, quadratus ex j.&c.fimiliter.

Deinde annotanda funt omnes radices quadrat* vfq;
ad 1 o o,qui numerus quadratus primus eft eorum qui ra-
dicem feu latus habent duarum notarum, nempe io.infra
100 omnis numerus latus habet vnius notat, a toovfqj
ad 1 00 00 exclufiue, omnium quadratorum numerorum
radices habent duas tantum notas: at 1 o o o o. primus eft
quadratorum, qui habent radices trium notarum , cuiuf-
modi funt omnes quadrati a 1 0000 vfq; ad 1000000.
cxdufiur: ipfius vero 10000 radixeft ioo.at 1000000 ha
bent radicem quadratam 1 000. eftqj primus eorum qui
habent radicem quadratam quatuor notarum. Ex quo
manifeftum eft omnes numeros feriptos duabus notis ha/ Corotlmti
bere radicem vnius notx, omnes vero trium,aut quatuor
notarum numeros radicem habere duarum notarum: nu-
merorum vero quinq; aut fex notarum radices e fle trium
notarummumeros vero feptem,aut odo notarum habere
radices feu latera quatuor notarum & c. Proinde inuefti-
gaturus latus tetragonicum alicuius numeri, mox deferi-
ptum numerum lineolis a dextra verfus finiftram perges,
binis quibufq; notis feparatis in partes diftingues . nam ra
dix feu cius latus tetragonicu tot habebit notas, quo t crur
eius fic diftidli interualla.vt proxime ante deebra uimus.

Deinde fciendum duplata radice quadrata alicuius nu-
«3eri,dupIo'q; radicis addita vnitateatq; quadrato cius tie-

H iij rin«/

INSTI TVTIONZS

tinumeru proxime maiorem quadratu. vt fit o o o
4 numerus quadratus, cuius latus eft 2. dupla | |

2,& funt4,qua: vna cum vnitate,&quadrato O' — o — o
4faciunt 9 proxime maiorem quadratum.

Deinde annotandum inuentionem lateris o — o o

tetragonici, vt docet T hcon in 9. cap. libr . 1 , magna: con^
ftruftionis,pendereex4.propo.2.1i.elemen I EudidiSj quj
ita habet.Si refla linea fecetur vtcunq;, quadratu quod fit
ex tota,Kquupi eft quadratis,qua: fiunt ex Tegmentis, &ei
quod bis fub Tegmentis comprehenditur, rcctangulo.Vt
Tit a b linea 1 z, qua: Tecetur in
duas partes a c 10, c b 2. dico
quadratum totius line* ab nepe
a e i44,eflea:quale duobus qua-
dratis, Tcilicet partis a c, quod eft
a f 1 o o , 8 c partis c b,quod eft 4,

& duobus rechngulis , qu* fient
dufla a c 10 , in c b 2, quorum
vnuquodq; eftzo.nam fi colligas
quadrat. 100, Sc quadr,4, 8 i duo
reflang.20. habebis 144. cuius ^ c

numeri latus tetragonicum 1 2, 108

inquiretur Tic.ex antediflis 144,

habebit radicem duarum notarii. p, c aang, —10

Nam eft numerus triu notarum, Refomg 1 io

quare eius latus duobus fegmetis ^ driL , 44

diuidetur.vnueritexdenionibus, — ^ —

alteru ex digitis. Difponesergo ^ __j. 'J-

numeros, vr vides in fequetiti figura iuterpofita virgula
inter i,&4 ,& Tub Tcribes duas parallelas, 1(44
quatrefqj latus tetragonicum i,eftqj t,quod — jq — -- —

notabis inter parallelas, habebifqj iam primu J

fegmetum maius lateris tetragonici nepe ac, I 2

quod

arithmeticae.

23

quod eft i denio. Querendum rcftat aliud fegmentum,
fcilicet linea b c, quod fic explorabitur. Pra-ter quadratu
fegmenti a c,quod eft ioo,reftant duo reftangula ex a c,in
c b,Sf quadratum c b inquirenda,vt compleatur quadratu
totius lateris a b,quod eft i44.explorabitur aute quata eft
line* c b,duplicando i duplu i,« fient i . quia duo reftan
gula accipienda funt ex a c,in b c, quorum maius latus eft
a c,fcilicet i denio,Diuideitaqj4per 2,& proueniet2,&
accipe quadratu 2. qui numerus debet efle fegmetum cb,,
3C vide fi bis duo deniones, id eft 40,qu* funt duo recian/
gula , vna cum quadrato ipforum duorum , id eft, cum 4.
exflauriant ipfa 44 ,& vides exhaurire: quare fcribe2.
inter parallelas fub dextro 4, & duc duo in 2. qua? funt in-
fra parallelas, & exhaurient 4. id circo ea delebis, deinde
in fe ducito 2,&C fiet 4, qus^ftrahe ex 4, & nihil prorfus
manet. Quare concludes numerum 1 44 efle quadratum,
Sc eius latus efle 1 2. ,

-■ ■" lnmlmemnon quadrati* quiinueniatur
propinquum latui?

Si numerus non fit quadratus, non poterit habere latus
tetragonicum praciflum.Nam etfi numerus integrorum
in fedu&us efficiat quadratum numerum , partes tamen

in fe dutft* non explet numerum quadratum ,fcd partes.
Proponatur itaq; numerus4500.no quadratus,cuius latus
tetragonicum dicitur a Ptolemaro in magna coftrutSione
efte 67 partii!,4 minutoru,^ fecundor ii.

Difpone numeros vtvides.binosquoP 2 /,
que feparado virgula, fubfcribefqj duas 9 \ 6~(i
parallelas,quarrefqj latus tetragonicum 4 ^ I 0 o~

ipforum45 jautnumeri qua- . — g-y —

drati eo proxime minoris, o— |— o ' ■ — J- —

quod erit 6 . qui notabuntur ^ 1 I 2

Li.t.Cdp.?.

inter

INSTITVTIONES

inter parallelas fub 3, cuius quadratum funt 36, quibus i
fuperioribus 4 1 abftradis , remanent 9 notanda fupra s.
hic primus numerus radicis eftdenionum :fi duplices 6.
demones habebis 12 deniones,id eit, 1200. quod Tegmen-
tum eft maximu totius lateris tetragonici.Quare notabu-
tur 1 2 deniones in propriis limitibus , nempe 2 fub denio
nibus,i fub centuriis , quia funt 1 zo.diuide deiude 90 per
1 2, & curabis vt remaneat numerus vnde lateris tetrago-
nici fecundum fegmentuminfefedudumpofsitaufirri,
eritqjis numerus y.dicitaq; fepties i,funt 7. quibus dem-
ptis a 9, relinquuntur 2. deinde duc 7 in 2, Si fiunt 14, qui/
bus demptis a 20, remanent 5 . deinde duc quadrate 7, fiC
fiunt49,quibusdemptisex 60, remanent 1 1. quare latus
tetragonicum propinqui quadrati eft 69. qua: in fe duda
ReifiuSio fa:iunt4489.Recentioresilla 11 .rehda fupra virgulam
*i p.irtes. fcribentes , ei fubiiciunt duplum lateris inuenti addentes
vnitatem ob quadratum gnomonis, vt declaratum eft ia
procreatione numerorum quadratorum, Itaq; dicunt,
latus tetragonicum propinquum 4500 critd7partiu
Partes enim laterum furdoru numerornfunt denominati
d* a differentia , qu* eft inter duos quadratos proximos,
inter quos ipft continentur: vt latus tetragonicum 8. efti
&-f^nam differentia inter 4 & 9 proximos quadratos eft
3 -Ptolerinvus vero&Theon fic reducut ad fexagefimas.
Illa 1 1 relida multiplicant per < 5 o,fiuntcp ddom. deinde
diuidunt per duplum lateris inuenti.nepeper 1 34,8.' pro-
ucuient4 ni, remauentqj i24.qu*rurfus ducunt perdo,
& fiunt 7440, vnde abftrahut quadratum ipforum 4,id eft,
i6,& remanet 7424, qua: rurlus diuidunt per 1 34, nempe
duplum lateris inuenti, &proueniunt ^fecunda, quare
tota radix 4 ; 00 erit 67 partium, 4 in. .verum fi ducas

in fefe hunc numerum 6j, 4. u- proqenient 44??» partes

AJUT HMET;IC AE,- i Z?

a. i4iifio.?-2<.4> Welius itaqj reduces ad fradioues AtiM}
fic. Dacia relicta indo, X fiunt 6So,qn* diuide per du>
pium radicis, id eft per i j4,& proueniunt 4 m,X remanet
i 2 4 .i quibus deme contettim antequam conuertanturad
fecunda (nam in hpc lapfuscit Tfieonpoft Ptplemamm)
quadratum ipforum 4. nempe id remanent 10S, qu*
duc per do , X fiunt 64S0. a, qua: diuide per 1 34 » duplum
fcilicet radicis , X proueniunt 4$ 2. Quare propinquum
latus tetragonicuin 4500 cit 6-j partium, 4 111,48 2: quodli
ducas 67part. 4 in ,48 2. in fe fe habebis 4499 part. 59 m *

45.'?. )s'. T. 24. ?. Hxc methodus in numeris furdis,
qui iunt minores quadratisfolavnitate fallax efh Nhm
e (Tet latus quadratum ipforum.8.2,& 60 m, qua: effent 3 ,

.& latus quadratum ipforum 1 5-eiTent 3 X 60111. proinde
duplat* radici addetur vnitas ,6C conflatus numerus erit
diuifor. Ide aliter X breuius e* OrotioFinso. Addeipfis
4V00 duo paria ciphrafu , vt in latere tetragonico habeas
minuta, X fecunda,fiehtqt 45000000, cuius humeri latus
tetragonicum cftd7oS 1 negledis alrjs,qu* re manet,a quo

deme duas notas dextras ob duo paria ciphrarum addita.

X duc oS per do , X fiunt 4S0 , i quibqs deme duas notas
dextras,& remanent 4 m,duc duas notas deptas 80 indo,

X fiunt 4S00 , vnde d e me duas notas dextras, X colliges
4S 2. X 00 tertia Vt prius.

Si vt multiplicafti per do illa 1 1 relida, multiplices per
1 oo,&: produdum diuidas per duplum radicis addita vtii
tate,id eft i35,iuueniespartesccritefimas:Siper 1000, X
diuidas per eadem 135, inuenies partes mille limas Slc.li-
militer. Hoc aliter 'fieri poterit, vt docebitur capite de la-
tere cubico inucniendo .

Ve examine.

Aduerte relidum numerum poft extractionem lateris

I tetra-

I N- S T I T VTlOKiS

tetragonki no debere c (Te plufquam duplo maiorem ipfo
'fitef e<i etii poteft eiTe duplo maior, vt radix quadrata S eft
'j , 3 c remanent 4. Si itaqi p iufqua.m dupla ratione arclido
numero excedatur latus retragonicum , extradio lateris
tctragonici non erit accurata. Licet dudo latete tetrago^
niconu fefc, & producio addito nuuiero relido (quod eft '
regiuhi examen) confletur datus numerus, q •».-i

■ Examen per p. • ’ . ■

Rejice nouenarios a radice inuetita , & in calce decufsii
feribe quod remanet. Vtinfecundoexempio colledis
6 SC 7 fiunt i jjTeiedo verd9, remanent r notanda in calce
decufsis, duc deinde + quadrate, & funt 16 ,vnde reiedis
noucnarrjs remaner 7, qua: iunda Cum J 1 relidis faciutjt
9,qure rei)e,& in latere decufsis dextro feribe o.djciiide ex
4 sooreijce nouenarios,'& remanet o. quare adlimatur ta/
lis lateris tetragoniciextradio vera.

7) e 'utilitatibus extraclionis lateris tetragonki .

Ex 17 fexti & to feptimi, fi tres magnitudines aut tres
numeri fuerint cctinud proportionales, quod fit ex dudu
extremorfieft squale quadrato medi),&vicc verfa. quare
medium proportionaleinuenietur dudisextremis & pro
dudi extrahetur radix quadrata, vtfi qusrasiiit'erq&9
mediii proportionale, duc 4 in p,8c funt $6, cuius numeri
latus tetragonieumfuntd.quinumeruseft medium pro-
portionale inter 4&'s>. Secundo,ratioinueniedarum fub-
tenfaium linearum angulis redis, atq; inueniendorum
Jareruin continentium angulum redum, eget lateris tetra
gonici extra£iione,vt confiat ex 4 6 primi. Item yniuerfa
dodrinainueniedarumfefiufsium & 'redarum iii circulo

pendet

ARITHMETIG AJL,

3 °

matiis lib. i .cap.j.alttifgeTFh ItetjiTi cupias multiplicare,
aut alia quauis ratione auget* quadrata , aut circulos ,aut
figuras fimilie, id eft,inuenire<;irculos,aut figuras fi miles
aut quadrata alijs duplo, aut triplo, aut alia quauis ratione
maiora, opera lateris tetragonici efficies fic.

Sit a b area circularis , qua cupias inuenire aliam circu-
larem triplo maiore. Diuide diametrum eius in topartes
aut : plures , vt libuerit , ducefq; io quadrate, &' fient ioo #
triplica i oo,& fient 500, cuius nu-
meri latus tetragocicum eft paftiu,

17.n1. 19. -.12. diameter itaq; circuli
triplo maioris erit talium 17 ptrtiu,

J9. ni 12.2 , quales habet diameter a
circuli a b lc.Eade ratione inuenies
alias figuras dat» fimiles, quacunq;
ratione maiores, quod ad diuifione
aquarum &diftributionem luminis pro ratione quatitatis
cubiculoru non mediocre pratftat momentum. H*c ratio
Arithmetica multiplicandi figuras ex 1 duodecimi, & i x
oftaui lib. emergit. luxta hanc methodum fupputata eft
fequens tabula , inquaextant latera figurarum iimilium,
vfq; ad fexagecuplam quadruplam rationem multiplica/
tarum. In qua figura? fi mplicis latus aut diameter fecatur
>n 10 partes: at duplo maioris latus continebit, vt rides in
tabula i4part.8.m.2,24.

Tj S VLJ M FLTI V LICJTloms

Figurarum j milium .

I ij Latu*

ARITHMETICAE.

31

Quod fi beneficio huius tabula: velis latera fubmulti<
jrlfciUm fimilium figurarum inuenire vfq; ad fexagies
quater minorum, exemplo fequentidifces, Sit ab area
quadrata, quam expleat aqua fluens,

8 C inftitutum fit hanc aquam diftri-
buerein 25 partes pquales. Queritur
quantum futurum fit latus are* qua;
drat* vigefimam quinta aqua: dat*
partem diuifur*. Accipe ex prarce- d'
denti tabula latus are* vigecuplo quintuplo maioris 5 SC
reperiesefleso,qualiii latus fimplicis eft lo.fitlatusa c 50,
ex quibus accipe 10, id eft, quintam parte, qu* fitd e/itqj
eius quadratum d f. Dico aream d f continere vigefimam
quinta partem are* a b. Atq; ita de reliquis eft faciendum:
aut beneficio lateris tetragonici, vt docuimus expedietur
quacunq; ratione fit augeda aut minuenda area quateunqj
in aliam fimilem.

<P ^0 53 LEMJ 6 .

Latus cubicum propofiti numeri aut ei
propinquum inuenire.

Latus cubicum feu radix, feu linea, dicitur numerus qui
duplici multiplicatione fui ipfius efficit numerum cubi-
cum. Prima enim multiplicatione fit quadratus , qui du/
ftus per propriam radicem procreat cubicum, vt bis duo
bis, funt ofto.Nam bis duo funt 4, bis 4. funt S.duo igitur
latus & radix cubica dicitur ipforum S. cuius tres dimen-
fiones feu latera funt 2. 2. 2. qua: gemina multiplicatione
procreant S.

I iij Ex

INSTITVTIONES

Ex quatuor fchematispratcedentibus quatuor corporii
cubicorum , fimiliter SC quatuor cubicorum numerorum
priorum iiittliiges rationes pariter & Iaterainam fi latera
cubica fe habeant vt i . 2.3. 4, corpora cubica fphpra?,
& omtlia corpora fi milia 8 c cubici numeri fe habebunt
Vt i.S.27.64,quod oculariinfpeclione ex fchematis per-
cipere poteris, Tales enim cubica’ S magnitudines parua:
funtin B, qualis eft 1 A, Vitales 27 funtin C, qualis 1 eft A,
& tales 64 funtin D, qualis 1 eft A. ltaq; cubica multipli-
catio corporum folidorum magnitudines prodit. Quem-
admodum docet Euclides li.ia.propo iS .& alijs multis,
dicens fphatras & corpora omnia fimilia , vt funt cubica
& colurno* iimiles,& prifmata fi milia & reliqua omnia
fimilia folida inter fefe triplicatam habere ratione ad eam
quam habet inter fefe dia metri, aut eorum latera qu* tri-
plicata ratio eft cubica multiplicatio diametrorum aut la-
terum, vr confiat ex definitione 1 1 .quinti libri, vbi habet
li fuerint quatuor magnitudines vel numeri proportio-
nales, primusad quartum rationem habet triplicata, quam
ad fecundum nempe compotitam ex tribus rationibus in/
tcrmedifs.Et propofitione n.octaui habetur duorum cu
b eorum numerorum duo funt medij proportionales, 8 C
cubicus ad cubicfuriplicatam rationem habet, quam latus

ad latus

ARITHMETICAE.

ad latus, Sc ex $. definitione fcxti, ratio ex rationibus com
poni dicitur j quando rationum magnitudines in feipfas
niultiplcata?, effkiiit aliquas, quare li velis fcire,qua: ratio
fit inter cubicum B &C C> compone ter eorum latera ffc.
&duczinduofiunt4,&4inz, latus B. z, 2. 2.

& fiunt 8.rurfus duc 3 in 3, latus C- 3. 3. 3.

& fiunt 9, & in 9 in 3 j&fiut 27. quare inter cubicos B &C
eft ratio qualis 27 ad 8. nam inter 27 & 8. funt duo medij
proportionales ratione relquialtera,nempe 12,1 8.&inter
B & D cubicos eft ratio fimili methodo inueltigata, qualis
inter S &d4, inter quos numeros duo funt media propor-
tionalia, fcilicet 16 & 32.

Extrahere radicem cubicam, feu inuenire latus cubicu
alicuius numeri, eft inuenire numerum qui cubice duclus
efficiat illum, aut proxime minorem, vt fi qu atras radicem
cubicam 64, habes in fcqueti tabella eius latus cubicum 4.

TABELLA.

Latera. Quadrati. Cubici.

1 : — 1 1 Numeri qui habent latera

5 4 8 cubica abfq; fraflionibus di-

J 9 27 cuntur cubici, reliqui vero di-

4 16— — 6 4 cuntur furdi, quod nullam vn

5 — • — 2 j — 1 — 125 qua latus perfedtu dari pofsit,

6 \6 2 j 6 quodinfefe cubicedutftuillu

,,; 7 - r— 4? 343 numerum efficiat.

!‘"S, 64 S12

“ Sl 7 J ?

10. 100. iooo,

Ve procreatione numerorum culkoru m.

Tiunt autem numeri cubici ex naturali (e rie imparium,

tot

INSTITVTIO NE S

tot fcilicet imparibus fimul indis, quot vnitates habctipfa
radix, vt patet ex fequcnti tabella.

hl s

1 2 7

64

1*5

1 ' 1 5’ 5.

i 7-9-II.

13 .IS. 17 . 19 -

2t.23.iS- 2 7.*9.

Lii £

5

4

_J

Aliter etiam fiunt numeri cubici, nempe ex triplicata
radice feu latere proxime pratcedentis cubici, caqj ducta
per fuum triplum , demum addita vnitate. Golledtis itaqj
numero cubico proximi minore, & triplo radicis eius, &
producio ex triplo per radicem Sdvnitate.fiet cubicus nur
merus proxime maior .vt 8 cubica radix eft 2, cuius triplu
eft6, quibus du£tis per 2 , fiunt 1 2. demum componantur
8.6. 11. 8C 1. fient27« qui eft cubicus cubictu 8

proxime maior , qui modus eft appri- r diix t ’

me neceffarius lateribus cubicis inue- tud.tripluni. ‘ <S
niendis.Similirerenimrefoluunturin Rad.per tripi. 1*

luas radices cubici numeri, ac com- Vnit,ti

ponuntur ex prscedentiu radicibus; cwfe.proxiwf maior 17
additur autem illa vnitas , vt prsfefcrens cubicum minus
in quod maius refoluitur.

Deinde fciendum , fi ex aliqua linea vtcunq; fcdlainfe
dufta fiatquadratum,&ex quadrato cubicu corpus, quod
fecetur planis pro ratione feflionis linere cum lateribus
cubicis squidiftatibus.cubicum corpus refecari in quin qj
corpora, quorum duo funt cubica cx fegmetisdatar lineat
fa da ; reliqua verd tria folida funt prtfmata , tribus^di-
menfionibus feu lateribus c6ftanria,quoruvnum squale
eft vni fegmento linea’ datar,alterum vero alterijfegmeto,
tertiii verd toti lines datawt fit linea a b 1 2 fedta puncto
cinfegmentum a c 10, & fcgmentumcb 2,exquainfe
ducta fiat quadratum a b d e & ex quadrato duifto in lbn-

girudinera

arithmeticae;

IO

z b

X VI

L2r

d

240

12

no

*>

7

240

j ±

240

'IO

12

35

gitudine Tities a b
fiat cubicu corpus
begfeclumplanis
C q, & p i,& 1 n,
a’quidiitantibuscu
cubici lateribus .
dico cubicum cor/
pus b eg fecari in
cubicum aq.,& cu-
bicum m r: cubici
vero a q, latus cu-
bicum efle a c: at

10 m g k
cubici m r latus e fle g k arquale fegmento c b. Infuper fe>
catur in tria prifmata aqualia , nempe in ei o s 8 i in bq k,
SC infn.quod latet. & cuiufq;prifmatislateraitafe habet,
vtmaximum fit atquale totilineata b : alteru atquale feg^
mento a citertium atquale fegtnento c b. Si quis autem vo-
luerit cubu corpus,vt docet propofitio fecare.quinq; ha’C
corpora qualia a nobis deferipta funt,c®nfpicict. Sit itaq;
a b tota linea n,fecbain acio&cba. erit itaq; quadratu
ab I 2 ,i 44 .cubicum veroab >a:erit 172S, cubicum a c 10,
erit 1000, cubicum ipfluscb 2, cubut 10
eritS.fiex to,& z,SC 12 coficias
priftna erit 240. Si itaq; colligas
tria huiufmodi prifmata cum
duobus cubicis fegmentorum
inuenies i72S,cuiufmodi erat Summa cu bici t otm 1-18
quantitas cubici ipforum a b 1 z.

Prifmaex 1 «. io.z,
Prifma
Priftna
Cubui z

1000

>40

« 4 °

140

s

ylnnotatio .

Infuper fciendum numero cuiuis tribus notis feripto
comingere tantum vnius nota: cubicum latus : nam infra

K 1000

INSTITYTIONES

iooo omnis numerilatus cubicum efttantum vnius nota - ,
na m iooo cft primus cubicus, cuius latus etf duarum nota/
rum, fcilicct io. intra i ooocoo quiuis numerus latere cu-
bico duarum tantum literarumcotentuseft. Nam primus
cubicus, cuius radix cubica, clttrium notarii, videlicet ico
eit numerus icooooo , quare cuiq ; ternario notarum nu-
meri cubici delimabitur pro latere cubico vnalitera : di-
itinguendus ergo erit numerus,cuius quxritur latus cu-
bitu m,iii terniones notarii a dextra ver tus liniftra, tribus
quibufq; virgula feparatis , &C quot erunt interualla tot
notas habebit latus cubicum.

Exemplo docetur luter E cubici 'muefligjtio.

Volo inuenire latus culeum numeri 1(72 S
1728, fecerno tres priores notas virgula 7f 2

fubfcriptis duabus parallelis, dico modo 1“ — ' —

latus cubicum, vt patet ex annotatione, 1 3
habiturum duas notas, quaru prima erit _J

denionuro,fecunda digitorum. Qmvro ' X(IKic,u 0 | 0
latus cubicum i&eft 1 . hoc idem eii ac 5

fi dicas, latus locoelt vnusdenio.Habeoiam cubico feg-
menti a c,cuiufmodi latus eftetia latus trium prifmatum,
quorum inueftigandafunt latera duo,qua’ddunt. Innu-
mero itaq; 728 debent contineri tria prifmata «qualia,
quorum vnum latus fit 1 denio,&vnutn aliud cubicum.
Triplo itaq; latus cubicu primo inuentu ob triumilloru
prifmatum tria latera «qualia, & efficio ? deniones,quos
noto in fededenionii,fci!icet fub 2. quia vero vniiquodcp
prifma habet tria latera Si vnum eft inuentu m 1 denionis
& maximum latus cuiufq; prifmatis debet effe «quale to/
tius cubici lateri, quod vt minimum effe poteft 1 denionis,
duco triplum radicis,ucmpe 3 deniones in ipfam radicem

inus

1

arithmeticae.

34

inueram, nempe in i denionem,SC fient 3 centuria?: quare
noto 3 centurias in fede centuriarum > nempe fub 7 infra
parallelas, 8 C protiuncio tria illa prifmata ,vt minimum
polTe valere 30o,Diuido modo 7 a per 33, nempe per tri-
plum radicis, Slperprodudum ex triplo radicis colleda
(nam hoc comodius eft ad citius extrahendum , quam vt
per foluprodudu ex triplo lateris primi in latus prirau
diuidas.naaddendotriplumlateris primiinuenti fiunt 33
denioneSjfcilicet 3 30, & fingo vnumex lateribus prifma
tumefie 11, alterum 10, territi 1 Si ita vnuquodq; prifma
fingo efife 1 10, quod fi vilitas non poteft effe tertium latus
prifmatum.ncc alia nota maior effe poterit) SCinuenio bis
tantum contineri in 72 ipfajj. fingo itaq; tertium latus
cuiufq; prifmatis effe 2, Si totum latus cubicii dati numeri
172S effe 12. fi itaq; 2 eft fecuda nota totius lateris cubici,
habebit vnumquoq; illorum trium prifmatum tria latera,
quorum vnum erit t denio,fecudum erit 2 digiti, tertium
erit 12. Multiplico 12 perjdeniones laterum prifma#
tum,8dfiunt36 detiiones, qui rurfus ducendi funt pera
igitos, qui funtterdu latus cuiufq? prifmatis, & fiunt 72
deniones,quibus demptis ex 72 exhauriunt 72 fuperiores,
quifunt 72oqu 1 e eft quantitas trium prifmatu. Nunc vi-
dendum, num cubicum 2 , (nam hoc reftat,vt complean-
tur illa quinq; folida,in qua? vnumquodq; cubicu refolui'
tur)quod eft S pofsit demi a numero relido, nempe ab R,
quodeum pofsit, & nihil remaneat dico latus cubicum
1 7 2 S eiTe n.

Examen,

Gertifsinmm examen fit multiplicato latere cubice,vt
fi ducas 12 in fe, fiunt 144, rurfus ii ducas 144 per 1 2, fient
«728. quare rede extradum eft latus cubicum- Aliud per
9, deme 9 quoties fieri poterit a latere cubico, & remanent
j notanda fub decuffe, duc cubice 3 , & fient 27 ,i quibus

K ij deme

INSTITVTIONES

deme 9, 8 c nihil rcrnanet,cui eft addendum quod remanet
facta exiradionc laterisA quia nihil remanfit.notoin lac-
tere dextro decufsiso, Deinde aufero 9 quoties poflum
i numero vnde extradum eli latus cubicum & nihil re-
inanctifcribo ft militer in latere liniltro decufsis o,& con/
ijcio redam cile extradionein lateris cubici.

Aiuii exemplum.

Sit inueniendum latus cubicum 876943^79: feparo
virgulis interpofitis tertias
qualq; literas , ficntqj triain-
terualla. quare latus cubicum
habebit tres notas , quarum
prima erit centuriarum, fe>
eunda denionum } tertia digi-
torum. Qusro ex tabella la-
terum cubicorum cubicum 9
& inuenio efTe 7 2 9, & demo
729 ex 87 6, Si remanent 147
notada fupra proprias fedes.&non^interpa- . I ^
rallelas,qua? erit nota prinia, centuriarum, videx I

licet ipfius lateris cubici, & concludo numeri
7290C0000 latus cubici' e fle 900. Deinde triplico 9 8 i 27
eius triplum noto (uh 9 & 4 ; prarterea duco 27pcr9 , 8i
primam notam produdam ex 9 per 7 pono fub 2,fcilicet
in proxima fede dextrorfum : reliquas vero fuo ordine
fcriboA' funta43 qua'feruatisIimitibus,colleclacum 27,
funt2457 ) perqufm numerti diuido 14794A prouenient
6.fingoitsq; 6elfc fecunda notam lateris cubici. Experiar
modo num tria prifma ta pofsint demi ex 1 4 7 9 4. ducam
proinde 9^11 27, fiunt 2592 , quarrurfus ducam per 6 ,
& fient i^52,qu% non poiTunt demi exi 4794iproinde
jton poteft efle fecunda nota lateris. I ingo itaq; efife Si

ducam

1 9

(4 7

mt

0 8

> 4 7
876

6 9 bj

9 _ 4 _jJ

| 4 l {6

f 7 9

9

i

7

2 4)

27) 2
»

8 S

~ 1

707

S

ARITHMETICAE.

3 *

ducam 95 in ? 7» & funt 2565 »qua’ ducam per 5,& funt
I2825,qua? demo ex 14794 , & remanent j 969-, deinde ex
his demo cul icum ipforu ?,idcft 125, & remanent 19568
vfq; ad virgulam. Hac methodo extraxilti tria prifmata,
quorum quodq; habet tria latera, vnum ex 96, alterum ex
90, tertium ex 5,&cuiufq; valor eft 427501.51 omniii valor
eit 128250,^ cubicum iploruin 5 ,id e<l i2 5,quodconiun/
dium cum 12S250, facit i2S375,extraxiiii, inquam, totum
hunc numerum ex relictis 146943,86 totidem fupcrfunr,
quotantc,nepe 19568. Prauerea triplica 9 <,,& buntaSf,
6 c 5 pono fub7,& alias notas finjitrorfum fuo ordine.
Deinde duco9s per 2S5.Sc fient 2 707 s,Sc' 5 pono fub S
triplicati numeri , reliquas notas per ordinem proprium
hniftrorfum icribo.Sc leruatiseoium fedibus colligo hos
duos numeros, & 68127 103$, perquemnumerum diuido
I9 s6Ss 7,& proueniunt7,reliito fatis magno numero ex
diuifore . quare dico tertiam nota lateris elfe7. duco itacj;
957pertriplum,nepe per 285, defiunt 2727454^’ rurlus
duco per 7, tertiam noram inuenram, defiunt 190 9 2 i 5,
qua< demo ex 1956857, & rcmancnt47642, & inlupcr9.
ex hisitaq; fex notis demo cubicum ipforu 7, nempe 3 43,
&. remanent 476086.

Examen.

Duc 9 57 per 957, & fiunt 9 1 5 849, qua? rurfus duc per
957 , & fiunt S7646749 5, quibus adde qua fuperfutrunt
476086,86 prouenit primus datus numerus S7694 x 579.
Aliud per 9,. reijce 9 quoties potes ex latere cubico,
de' remanent 3, qua’ duc cubice, 66 fiunt 27,cx quibus re-
sectis 9, nihil remanet, ex numero relicto refice 9 quoties
potes, & remanent 4 fub latere dextro dccufsis notanda.
Deinde ex dato numero refice 9 quoties potes,&rcmanfr
4, quae potientur in latere finifiro dccufsis, quare conficio
extraitionem lateris cubici recte factam.

K iij De

INSTITVTIONES

De denominatione ,quam habitum ejl numerus ,
qui,extraclo latere cubico, relinquitur.

Triplica radicem feu latus cubicu inuentum(pofito pri
mum fupra virgulam numero re licio, vtindatoexeplo
_47 £os 5_ )d uc deinde triplum radicis, fcilicet 2871 per ra
dicem cubica cubici proxime maioris,fcilicet 938, &C fient
27S0419 cum addita vilitate, qua: fubfcribestanqua pro-
prium denominatorem numero relido. Quare cubica ra-
dix S7<5s>43 ^79 funt -In numeris furdisdeno

minator partium eft differentia inter duos proximos cubi
cos, inter quos continetur. Vt fi quatras latus cubicu 6, eft
r relidis 5, quae denominabuntur i differentia, quae eft in/
ter 1 &S 8 proximos cubicos, inter quos eft d.Itaq; latus cu
bicum6,eft i&C ~ , quod idem eft ac fi triplicares i,6C cffi
ceres 3 , & 3 duceres per radicem 2 , 8C funt 6 , et adderes
vnitatem.nam fierent 7.

Idem aliter fiet, fi velis reducere relidum numerum ad
fradiones Aftronomicas, fcilicet ad minuta : ducipfum
per 60, & produdum diuide per produduin ex triplo ra-
dicis In radicem proximi cubici maioris addita v nitate, vt
in datoexeplo per 27so4i9,&inuenies illifradionire-
fpondere 10 in. Si verd velis ad minuta 8C fecunda redu-
cere fradionem , duces relida 476086 per 3600 , 8i pro-
dududiuides per 27?04i9j&inuenies62 3 2,ideft loiH

23 5 -

Idem aliter, inftitutu eft inuenire dati numeri furdi latus
cubicu propinqufi quod ad minuta & fecunda, vt numeri
ad.illiadde duos terniones ciphrarum,& fiunt 26000000,
cuius numeri latus cubicum eft 29 6, negledis qua: fuper-
funt: 8c quia addidi duos ciphrarum terniones, demo
«Suas notas dextras , 8c manent 2 integra , duco deinde 96

indo»

ARITHMETICAE.

3*5

in do,fiuntqj 5760, a quibus demo duas notas dextras, Si
manet 57 m.rurfus duco 60 per 60, & fiunt 36oo,deptifqj
duabus notis dextris, manet 362. quare latus cubicum 16
eft 2 integrorum 57 m 362.

Idem aliter, fi velis inuenire furdi numeri latus cubicum
quo ad cetefimas,aut millefimas.aut fexagefimas primas,
aut fecundas, accipe cubicum numerum ipforum 100, vel
iooc,vel 60, vel 3600, quem numeru duces per datum fur-
dum,& produdli numeri latus cubicum erunt vel centefi/
mae ,fi per cubicum ipforum 100 eum duxifti; aut millefi-
me,ft per cubicu ipforum 1000 eum duxiili: vel minuta, fi
per cubicum ipforum 60 eum duxifti : vel fecunda, fi per
cubicum ipforum 3600 eum duxifti: vt fi 26 velis inuenire
latus cubicum quo ad minuta , accipies cubicum ipforum
60 , & fiunt 2 1 6000, quem duces per I6,8i funt 5 6 1 6000,
cuius numeri latus cubicum funt 177, qup funt minuta feu
y^quod idem eft, vtpote 2 integra 57 ni.quare latus cu-
bicu ipforum 2 6 eft 2 integroru 57 hi . Si accipias quadra
tuipforum 100, vel 1000, vel 60, vel jfioo^umq; ducas per AfiBOfafto
datu alique furdu 8C produfti fumatur latus quadratum,
iuuenies furdi numerilatus quadratu qud ad cenrefimas,
vel millefimas,vel minuta, vel fecunda.

De )’fn radicis feu lateris cubici.

Vt vnus numerus medius proportionalis inter duos ex/
tremosinuenitur opera exrradtionis lateris quadrati : fic
duo medii proportionales inter datos duos extremos in/
ueniuturextraftionelateriscubici.Na vt inter quadratos eutl.pro.
tantum vnus medius exiftit proportionalis, fic inter cu- ii.cru.
bicos reperiunrur duo medif proportionales:quiante fint oCtn.li,d.
inueniendi proprio problemate docebimus.

Deinde opera itiuentionis lateris cubici inueniuntur

quanti*

INSTITVTIONEJ

quantitates diametrorum , & laterum quoruncunq; foli«
dorum, dato aliquo fimili quacunq; ratione maiorum»
Efto verbi gratia A B linea diameter
fphsrs aut latus folidi angulis prsdi-
ti.quod fnvniuspodo.Si Arithmetica
ratione velis inucnire linea, qus fit dia
meter, aut latus folidi /imilis trin pon-
do: diuide linea A Bin partes squales,
quotcunq; libuerit. Sitcp in io diuiia,
cuius numeri cubicus eft i ooo, tot itaq;
funt in folido cuius eft diameter, aut la-
tus linea A B fimilia folida prcdita dii/
metro , aut latere vnius decims partis
lines A B.Quonia inquiritur diameter
aut latus folidi fimilis triplo maioris,
triplica 1000, & funt 3000 folida parua
lateris aut diametri vnius decims ptis
lines A B, quot cctinebit folidum tri/
pio maiusihuius numeri latus cubicum,
fcilicet 14 decims 2 e m.funt diameter,
aut latus folidi fimilis triplo maioris,
cuiufmodi eft linea C D. Item fi cupias inueftigare cui-
cunqjprifmati cubicu corpus squale aut quauis ratione
maius, aut cuicunq; columns rotunds Iongs columnam
squalem, aut quauis ratione maiorem,qus fit prsdita di/
menfionibus squalibus, hoc liet opera inuentionis lateris
cubici. Nam fi dimenfioneseorum communi aliqua mea/
fura inueftigaueris,&' inter fefe multiplicaueris, produdi
latus cubicu eft latus cubici, aut cylindri regularis cquatis.
Si vero produdum aliqua ratione auxeris, audi numeri
latus cubicu erit latus cubici,aut columns regularis eade
ratione maioris,qua methodo fada eft fequens tabula.

TA-

37

DOCENS QVO-
modo duplicandi^ aut triplicandi,aut amplius
augendi yf% ad fex agecuplum qua-
druplam rationem fintgloli
& corpora Jimilia.

INSTITVTIONBS

pars.

m.

5 1

purs.

m.

2 ,

U. 4 s

35

33

3*1

ia. js

38

1

12

Ia. 41 1

35

48

487

ia. j 6

3S

IS

0

Ia. 47

3*

2

2 4 r

ia. 57

38

28

48

Ia. 48

56

20

24 |

U. 58

38

4i

24

U. 4<>

3*

35

24 i

U. S9

38

55

12

ia. s 0

3*_

_S°

2 4 i

ia. 60

55>

8

24

ia. 51

37

4

48 1

Ia. 6 1

19

21

16

ia. $ 2

37

19

•2l

Ia, 62

19

2 9

24

Ia. S5

37

33

3* 1

la. 6 }

19

47

24

U. J4

37

47

24 1

ia. 64

40

O

0 1

(

AmUtio. Quemadmodum opera extradlionis lateris cubici mul/
tiplicium globorum, aut corporum folidorum fimilium
diametros Si latera vfq; ad 64 maioruinuenimus,poteriic
ctia quauis alia ratione maiorii,atq;etia minoru diametri
& latera inueftigari.Quod etiam,quc> ad fubmultiplicium
folidorum vfq; ad fcxagies quater minoru diametros,con
uertendo hanc tabulam, fieri potetir, Vt fi velis inuenire
diametrum globi fubdupli ad datum, accipe diametrum
globi dupli, nempe 12 part.Js m.242, & in tot partes SC
minuta &fecunda diuide diametrum dati globi, ex quibus
accipies 10 partes , & ex illarum quantitate fiet diameter,
aut latus corporis folidi fubdupld minoris- V t aute vites
diffcultatediuidendi diametro dati globi in 12 par. 3$ m,
24 2, accipies diaroetrfi globi ociupli, qui eft 2opart.o m
02 ,& diuidesin 20 partes diametrum globi dati, ex qui*
bus accipies 15 partes, 55 m, 12 2 diametri quadrupli. Ni
quadrupli ad octuplum eft ratio fubdupla-Qui autem do/
flrinainuetionis laterum cubicorum , ad vfus machinarii
bellicarum, 3 i ad artem militarem pertineat, Superis for-
tunans

ARITHMETICAE, jg

nantibus, in incxpto a nobis opere de re militari explica-
bitur.

Lubenter fubiecilTem mox problema de inucftigandis
lateribus figurarum altera parte longiorum, nifi egeret
multiplicatione fradlorum.

f^OBLEMA 7 .

Datis duobtcs numeris tertium continuo proportionalem
inuenire.

Propofitio 18 .libri noni elementorum, qua: colligitur
ex i7.1ibr. < 5 . SC 20. feptimi , qua ait Euclides. Si tres nu-
meri proportionales fuerint,qui fub extremis, a-qualis efi
ei,qui fit a medio &C vice verfa.Sint dati numeri 4 & < 5 . 1 n-
uenieduseft numerus, qui eandem habeat rationem ad 6, Exemplatit
quam 6 ad 4. Ducitaq;6infefe,&: fient 3djquem numeru
diuide per primum, nempe 4 ,S( fient 9. quare 9 erit tertius
proportionalis. Dentur fecundoS Sc ii, quibus fit dadus A j.
tertius continudproportionalis.Due 1 1 in fe,& fient 121,
quem numeru diuide per S, 8 C proueniettertius numerus
continuo proportionalis, fcilicet t s quare S. 1 1. is-|-

erunteorinud proportionales. Ex hac propoli tione facile CoroHjriS
poteris, in datis quibufcunq; numeris,continuare eandem
rationem. Nam vtdudlo fecundo in fe,&' eius quadrato
dtuifo per primum, inuenitur tertius ;Sic fi quadratu terti)
diuidatur per fecundum , proueniet quartus cotinuo pro'
portionalis, atq; ita de reliquis erit agendum.

B%0<BLEMJ 8 .

'Tribus numeris datis quartum proportionalem inuenire.

L ij Pro.

INSTITVTIONEJ

Propofitio tj.lib.o. Aut dantur tres numeri continue)
proportionales: aut tres numeridiuerfas rationes haben-
tes Si fint continuo proportionales, ex proxime proce-
denti problemate quartus in eadem ratione inuenietur.
vel quartus poterit in ucniri ex propo. i 6. hbr, 6 , vel 19,
Iibr.7. vbi air Euclides, fi c-uatuor numeri fuerint propor/
tjonales,quiex primo & quarto fit numerus, oqua ! iscft
ei qui fit ex fecudo & tertio nunrero;& fi qui fit ex primo
&quarto,fit squalis ei, qui fit ex fecundo & rerrio.illi nu/
meri funt proportionales. Duces itaq; fecudumin tertifi,
& numerus produdusdiuidetur per primum & prodibit
quartus numerus proportionalis. Nam fi quod fit ex fe-
cundo in tertium, e A squale, ei quod fit ex primo in quar-
tum, illud quod fit ex fecundo in tertifi, erit quaritas plani
numeri ex primo in quartu fadi , cuius plani datur vnum
latus, nempe primus numerus : quare per primum diuifo
plano, prodibit latus alreru, nempe numerusquartus,qui
per didam propofirionem erit proportionaljsivt dentur
Exemplum 2,6. continuo proportionales,ducd in rS, 8c fiunt 10S.
que diuide per z,& fiunt S4,qui cft quartus numerus pro*
portionalis. Omnino eadem ratione colligetur quartus
proportionalis , quando tres dati numeri habent diuerfas
Excmfl. rationes. Vtfi S dant n ,quot dabuntacf Ducaoin t2,
& funt 240, quem numerfi diuide per 8,& prouenient 30.
Dico.qualiseftratio Sad 12, talis eft ratio 2oad 30: nepe
fubfefquialtcra.Hic vfus problematis dicitur redus,quia
redo ordinem dantur trespriores numeri.

Vfiu <»> Alter vfus huius problematis clt inuerfus,vtpote quod

uerfus. ordine legitimo non proponatur trespriores numeri, fed
perturbentur: at vbi tres numeri dati ad legitimum ordi-
nem fuerint conuerfi , beneficio huius problematis irrue»
Exrmpl. j,j ccur quartus. Vt fi quum venditur tritici mcnfura(qu*

cafiz

arithmeticae.

)9

cafiz dicitur)$o dantur j4 vncia? panis 4 denarias*, qua.

do cafiz venditur 70 <^>,quot vncia: danda? erunt 4 dena-
rii»i!lnuertesfic,fi70 £^dant So quot dabunt i4vncia?
na mea ratione qua pretium minuitur , vncia? panis funt
augenda?, duc itaq; 80 in 14A' fiunt 1 120, qua* diuideper
70 } & prouenient 16 vncia? panis exhibenda?4 denarfis:
debet enim pretium cum pretiOjS.' vncia? cum vncijs con
ferri, Si,vt proponuntur numeri, velis abfoluere quariiio'
nem, duces primum m fecundum , 8 i productum diuides
per tertium,d' prouenict quartus, quod idem eft; vt fi cum Exemplum
venditur amphora vini 5 dantur profingulisdenarijs

6 vncif viuitquot dabuntur, cum amphora vendetur 4=^ J
duc 5 in6,& lunt 3o,qua?diuide per quaruor,&proueniet

7 vncia: cum ideft-|-vnci:e exhibenda? denario. Item,fi e jcemfc/.
30 fabri conficiunt triremem 40 diebus, 100 fabri quot
diebus conficient? duc 3oin 40, & funt 1*00, qua? diuide

per 100, & prouenient udies. Velfic perturbarim pro-
pones. 3ofabrifaciunttriremem4odiebus,vtabfoluatur £ .

triremis 12 diebus,quot fabris eftopusf duc 30 in 40, 8C *’■
fiunt 1200, qua? diuideper 12, & prouenient ico fabri. In'
numera? quaiftiones huiufmodi contingunt inuerfis nu-
meris. Ordo autem legitimus eft , vt conferas res eiufdem
generis inter fefe,& quam ha? habent inter fefe rationem,
talem reliqua: alterius generis inter fefe funt habitura*.

Quando partes, fe u fractiones adharrebunt integris, abfol
netur fupputatio per problemata de fra&ionibus integro
rnm tradenda.

Examen ,

Examinata multiplicatione fecundi per tertium, & di-
uifione produdti per primum, nece iTario prodibit verus
quartus proportionalis. Examen regium, inuento quarto
ex tribus prioribus, quaeres eadem methodo ex tribus po/

1 * iij fierio-

Ordo lea'
gitimtu-

IRSTII» TlOM£S

Atrioribus primii , qui fi fit «qualis primo erit refla fup «
putatio. Item fi duxeris primum per quartum, fiC produ-
flum diuiferis per tertium,prouenire debet fecundus : Sc
fi diuiferis illum produfluperfccundu,prouenire debet
tertius.Vfus varios huius problematis,ad innumeras am<
bages extricandas , qua: emergunt ex mercatorum com-
merciis, potes ex immenfa turba Arithmeticarum petere:
qua: a vulgaribus praflica: dicuntur. Nos enim intiitutio
nes ac methodos vniuerfales fupputandi,futuro Mathe-
matico ac potifsimum Aftrologo, tradimus.

T^OTiLEMJ p.

Numeros gradatim procedentes in Vnum unmerum,
expeditius quam per primum probkma } cdponere,

Recetioreslogifta:numerosgradatimprocedetes,pro«
grefsionem Arithmeticam vocant, qua numeri «quali ex/
ceiTu progrediuntur, qua: ratio fupputandi inutilis elt fu/
turo Mathematico , quandoquidem raro aut nunquam
vfurpatur. Si aute libeat fcirc,qui expediatur huiufmodi
compofitio : fic facito, compone primum Si vltimum , Si
produfli medietas ducetur per numerum ipforum : aut
medietas numeri ipforum ducetur per compofitu ab ex-
Exempl w»tremls,& prouenietfumma totius. Vt fint numeri grada-
tim procedentes i . 3. 5.7.9. 1 1 .1 3. 1 s.Iungo 1 cum t s,qui
funt extremi & funt id, cuius numeri medietas funt 8, duc
8 in S, nam oflo dati funt numeri , & fiunt 64 , quanta eft
(umma datorum numerorum. Vel duc 1 6 conflatum ab
extremis in 4, medietatem 8 numerorum, fiuntfy 64.

Pro.

ARITHMETICAE.

40

T %_0 S LE HJ io.

Datos quofcunque numeros continuo proportionales,
expeditius quam per primum problema , in Vnum
componere.

Hoc problema non tam vtile eft aftronomo , quam de-
coru, ideo explicatur. Numeros cctinudproportionales,
recenriores vocant progrefsionem Gaometricam ,vt I.

3.9« 27. S*. 243. Primum fcies minimos numeros data: Exemplum
rationis, qui in hoc exemplo funt 1.3. Duc numerum mi
nimum eius rationis in minimum eius progrcfsiouis , leu
continua’ proportionis: Deinde duc numerum maiorem
dat* rationis in numerum maiorem dat* continu* pro/
portionis, Vt in dato exeplo, duco 1 in i,& funt 1 : deinde
duco 3 in 243, & fiunt 729. Subtrahe produiftum ex mi-
nimotermino rationis in minimum numerum continu*
proportionis, & remanent 728, hanc differentiam diuide
per differentiam inter minimos terminos dat* rationis,
fcilicetper2,SCprouenient5 64, fumma dat* continu*
proportionis, Idem aliter ex Euclidis 3 propofitione Aliter.
p.libri, qu* ita habet, fi fuerint quotcunq; numeri conti/
nuo proportionales,auferantur vero a fecundo & vltimo
*quales primo, vt fe habet exceflus feu differentia fecundi
ad primu, ita differetia extremi ad omnes, qui ante ipfum
funt. Vt in dato exemplo differentia fecundi ad primum
eft 2, differetia vltiini ad primum funt 242. itaq; vt 2 ad 1,
ita 242 ad omnes numeros, qui funt ante vltimum.Ergo fi
diuidas 242 per 2 ,prouenient 1 2 1 : omnes itaqj numeri
ante 243, efficiunt 12 1, quibus adde vltimum,id eft 24t,SC
fiunt 3^4, vt prius.

SECVNDVS

LIBER DE PARTIBVS

continuorum(quas fraftiones fcu
fcgmcnta vocat)fupputandis.

T vnitatum aceruatione in immenfum
numerus crefcit, fic vnitas dum in infi,
nitum fecatur s feinper dccrefcit. V nu
enim i Mathematicis dicitur,quod fuis
terminis cotinctur ,ac proinde quantu
intelligitur,qua; dicitur continua qua-
titas. Omne autem continuum fecari
Ariflotelfipoteft in femper diuidua,nec vnq^ia deuenietur ad pmufla
i.cjp, i .l/.indiuidua , quod infiniti non fi t medietas , nec tertia , nec
iecxlo. ylla pars ; a lioquifi parte ab aliquo numero denominata
haberet, iamfinireturillarum partium numero, Sc quia
omne diuiduum confiat ex infinitis pungis, ideo non
poteft diuifio ad indiuidua punfra peruenire. Itaq; fi mo/
nasfeu vnitas in duo atqua fecetur, eius vnaquteq; medie,
tas dicetur 4r vnum fecundum, vel vnum ex duobus, a li/
tinis femis. Si in tres partes vnaquatqj tertia pars,vel tries
-j-vnfi ex tribus diciture~-quarta vel quadras: -|-quinta
Nnwera- ve ^ quhitans, &c. Numerus fupra virgulam collocatus
t0K numerator, infra virgulam denominator dicitur, vt in -j-
Denomi- 4 dicitur numerator , t denominator.
lutor. Partiu duo funt genera, quatdam fimplices, quibus pri

mofcdionefecatur corpus, alia- funt particula: partium,
vt cum poft primam fedtione vnaquarq; pars in alias par-
ticulas fecatur , qua» ex prima feflione fiunt aut

no?iKi partes, verum qua- ex parte in paniculas fecta fiur,

liign

A RITUM. LIB. XI,

liijiH 1 Gratcis diditur, particulc i noftris dici pofsutia re,
centioribus quibufda fraftiones compotita? , qua- notatur
Itc-f - ) duo trientes quintantis : hxc cum inciderint, con,
teftim ad partes fimplices reducentur , cuius reductioni s
modus ex { . problemate huius petetur. Emicrt

Enumeratio partium eft earum vaiorisexprefsio, cum tio.
obferuationc,num integra contineat , necne. Quotief,

cunqj enim numerator partis eft atqualis denomiuatori,

Vt -J-partes continent vnitatem, & perinde funt -f- ac-f-
nempe i. Quando numerator partiu denominatote fuerit
maior, tunc continent plufquam vnum. Diuide tum nu-
meratorem per dcnominatorem,& proueniunt vnitaies,
vt^erunt-r-jfeuj.

Deinde fciendu.exiftentibusy qualibus numeratoribns, .
easnfradtionemeiTemaioremjCuiusdenominator eftmi- tjg n ° A *
nor , vt di&um eft inter communes animi conceptiones, !

V t -—maiores funt^-. Item omnes partes erte arquales,
quarum numeratores rationem eandem habent cum fuis
denpminatoribus , vt -f- ~r -f - -A funt aequales partes:
vt patet ex definitione numerorum proportionaliu.Item
integra reduci ad fractiones, feu ad partes.dudo numero
integrorum in denominatorero partiu , vt fi ex S integris
Velis facere feptimas.duc Sin 7,« funt-^ :

T %0 S LEMA 1 ,

flatarum partium minimos nummi, quales cum ipfis

partes efficientes, inuenire. Dea&re-

Aut denominator & numerator partium funt numeri uidndll '
ad inuicetjt primi,vt ~-,Situnc per propo.2 3.1ibr .y.funt f ri aio %
tninimi numeri illaru partium &omiuum cum illis aequa, m i, m ,

M lium,

INSTITVTIONVM

qij; co- lium.Si vero primi ad inuicem fuerint ,per i propo.li.7»
gnof.ctur vno ab altero reciproce ablato fempcr minore a maiore,
numeri ad q U i relinquetur nullo modo metietur procederem, donec
inuicem 2 principio fumpta fuerit vnitas: vt fiproponantur7&4
frimi. f t dcmas^remanetjirt verda4denias j,remanebit t.
qu‘, in- quare funtadinuicem primi. Si verd non lint adinuicem
veniatur primi , vno ab altero reciproce ablato femper minore i
maxima maiore, qui relinquetur vtrunq; metietur, eritqj pera,
men/ara feptimi , relidus numerus maxima menfura communia
toii. vtriufq; , confidera tunc quoties in vtroq; maxima men-
fura communis co tineatur :nam illi numeri erunt minimi
partium aequalium cum ipfis. Vt fi proponantur — 1
abitrahe S a 1 i,SC remanent 4.abftrahe 4 ab S,& remanet
4, qui erit maxima menfura communis ii &S.in 12 con-
tinentur 4 ter,in 8 bis:quare -f-funt partium-^ «qualium
cura ipfis minimi numeri . Q uo d erat faciendum.

f %0 !B LEMJ 2.

Minimos numerosam dau partes metiuntur inuenirt.

HocexjsSf 37 feptimi colligitur. Si denominatores
datarum partiuinfintnnmeriad inuicem primi, duc eos
inter fcfe,& producetur minimus ab eis menfuratus, vt
-j- -57- -y - minimum numerum mcntiunrurtfo. Nam A
ducas 3 in 4 funt 1 2 ,&i 2 in $ funt 6o,infra quem numeru
nullus eft quihabeat-f . Si denominatores fint
numeri adinuicem compofiti, fifc metiuntur propor-
donalirer , vt^- , tum maximus eorft eft minimus
menfuratus ab illis. 8 enim' habet-£- Sivero

non metiantur fe pr oportionaliter , vt fi qua-ras quis fit
minimus numerus mefuratus ab «a™ 3 me/

tiuntur

A R ITHM. LIB. 'II.

4?,

tiuntur 6 , non autem 4 . & 4 & 6 funt numeri ad inuicem
copofiti, omittes -j- quia omnis numerus habens pariem
aliquam , habet omnes partes denominatas a fub multi/
plicibus eiusdenominatoris, &qu*res numeros ad fe in-
uicem primos, per prxcedentem,qui metiantur 4 & 6, SC
funt2,& J.quosadlatuseorumquosmenfurat
collocabis fic.decuffe interpofita.Sc duces 4 in 3 ^ 2

Vel6 in 2 8C funt i2,quieft minimus menfuratus 6 ' 5

i-j- -j-&-s-.*eade ratione — j- -j-minimum metientur
24.debet enim rerjei vna quarta, quia numerus habens -g-
neceflarid habet- 2 -. Hoc idem eft cum ratione inueniendi
minimos numeros,qui habeant datas partes.

P <B LE MA J.

•1.. ...

Datam, aut datas partes ad alias cuiuf cunque
denominationi s ftbi te quales conuertere.

Si denominatores partium iint numeri ad fe inuicem
compofiti,tum ex S. problemate primi libri inuenietur
facillime, vt dentur -j- conuertendae ad— dicito fi 3 dant
2:quanmm dabunt 8c inuenio4, locanda fupra,fic -5-,
erunt itaq; -j-quatuor fextx. Si vero fint numeri ad fe in/
uicem primi, tunc fiet fimili modo,fed accident particulae
partimri.vt Iint conuertend* ad -7-, dicito ii 7 dant 3:
quantum dabunt tfSC inuenio refpondere -j-,SC remanet
i,qu;e eft dicenda- 2 - J. Nam ad quintas conuertis repri-
mas^ illa vnitas, quas remanet ex 1 s diuifis per 7 necef-
fariii eft^- , quia perydiuidis. Quare J-idem funt quod
-7- cuna )• Nam vt docebimus problemate 4. 7-cum
a~' { efficiunt jvr.quaridemfuntcum

W ^ PRO/

INSTITVTIONVM

f ^0 2 LE MJ 4.

Datasquafcunque partes quarucunque denonmation»,
ad partem Vel partes eiufdem denominationes cum
datis ecquales {ounertere.

Per fecundum problema huius inuenies minimum nu/
merum, quem dat* partes menfurat, & illum diuides per
earum partium denominatores , &. quoti prouenicnte*
fupra fcripti minimo numero ab eis demenfurato , erunt
redudiad partes eiufdem denominationis, vt per 2.pro/
blema,minimus numerus menfuratus i-—- -j- eftto.

Diuide iSopcr 3 & prouenient £§■, nepe -|-,diuide per 4
& proueniet id eft-^, diuide per 5 & proueniet

fcilicct-j- .

Si partes dat* fint eiufdem denominationis, non eft
Aliter, opus problemate:alioqui,fint verbi gratia-i con«
uerteda: ad vnarn denominationem, difpone ,j
vt vides, pofita decufle inter datas partes. z \ / 3

Duc per s denominator? prima: , 3 numera XT —

torem fecunda: ,& fcribe 15 fupra deinde 5 J
duc per , 7 denominatorem fecund* ,& 35

funt 3 C,qun* fcribe fub 7. Pratereaduc per denominato/
rem fectida, fcilicet 7, ipfa 2 fientq; 14 fcribenda fupra 2,
& per eadem 7 duc. fient 35 fcribenda infra 5. Erunt

itaq; -|-conuerfa: ad conuerf* ad ji.

Quod fic demoftratur,2 & <; ducta funt per 7:habebnt
itaq;produi5aex7 in 2 ex 7 in 5, fcilicet 14 &T 3S,per
propo.i7.Iib.7. eandem rationem,quam habente 8 C t:SC
per eandem propofitionem 15 & 3 j, fafia ex du<$u $«13
& ; in j habebunt eandem rationem, quam habent 3 & 7»

quare

ARITHM. LIB. II.

4 »

quare ex annotatione tradita in initio huius libri, atquales
partes funt-^- cum & 4" cum ff q u °d erat f acif : ndu.

Hinc pronum eftcuiuis partes colligere. Nam fi fint Additio',
eiufdem denominationis, colligentur numeratores 8c fub
feribetur denominator, vt-j-ik-f- cRiciunt-y ,fcilicet i
&.~y .Si vero fuerint datat partes diuerfarum denomina-
tionum per prefens problema reducentur ad eandem de-
nominationem, poftea colligeotur,vt y-fant ff : ~r ff ,fi
jungas ff cum ff, fient ff.

Deinde facile vnam partem ab alia fubtrahemus. Nam Subtr ‘ ,a, °
fi fint eiufdem denominationis, minor numerator fubtra-
hetur i maiore, & fubfcribetur denominator. Vtfifub-
trahas a-f ~T > remanebit—. Si fint diuerfarum denomi
nationum reducentur per prrcfens problema ad eandem
denominationem, vt fi fubtrahatur a-f -f > couertentur
-4 ad ff &f-ad ff ,& remanebit,fubtraftis-f i-f TF >

PdlOS LEMA 5 .

Datas partes in alias quafcunque multiplicare .

Dum integra perintegra ducuntur, femper fit maior
numerus, & vnitates augenturtfit dum pars per aliam par
tem ducitur, femper fit pars denominationis maioris, fed
reipfa minor qs, ex quarum dudufit. Similiter fi vnitas
ducatur in quancunq; partem, fit femper eadem pars: vr,
quum ducitur vnitas in quemcuncp numerum , fit femper
idem met numerus. Quare fi multiplices i per-f fit me-
dietas , fi per-f-fit-r&c • Et fi ducas-f- per-f ftt-f >
fi^-per-f fit-f, fi-f ducatur per-f fit-f . quoditade-
monftratur.Sir a b linea i , qua: ducatur in fefe fiet quadra
tum a ctfumatur a e medietas ipfius a b. Si itaqj a b, iducas

M ii} jnar

INSTITVTIONVM

in a e -j- , fiet a f reftangulum,
medie tas quadrati a e, per i . pro-
poiitione 6. quod fi ducas a b, i .
in a g cius fietreftangulua h,
quod eft tertia pars quadrati a c
per i. propofirionemd. vndepa-
tetvnitatem dudiamperquamuis
partem efficere illammet Ad hxc

fi ducas -j-iine* a b,nempe a i, in d c

a e, medietatem line* a d, atquaiis ipfi a b, fiet rcftSguIum
a k,quod eft ■— totius quadrati a c; Si fi ducas a i ,id eft-j-
a b,in a g jid eft -f-, fiet redtagulum a 1, quod eft fexta pars
quadrati ac. Quare — duda in medietatem procreat
du dia in facit -5- .Quod erat demonftrandum.
C tnomuU Dudiurus itaq; vnam partem in alteram , multiplica nu»
t iphejt io~ mera torem vnius, in numeratorem alterius, & fiet nume«

ati partiit. rator ; deinde multiplica denominatorem vnius, in deno»

minatore alterius, & fiet denominator partis produdiae;
vt fi ducas -|-iii •£-, duc 3 inj & funt 1?, deinde 5 in 7 8C
funt 3 5 , qu* feribe interpofita virgula ipfis 1 2 , 8i fient
Particula- ff-.Ex hoc canone etiam poteris quafcunq; partiit parti»
tuidptes culas.ad partes coucrtere,vt-i-^, eft -7-’ funt-^-.
cotnier/io. canone multiplicationis couertutur ad primas partes.

Multipli- Si integra ducas in partes, difpones integr a ad formam

catio intr» partium: vtfi ducas 9 integra in-^-fubfcribes ipfis 9 vni-
groraw iti tatem fic-f , 8i fecundum hunc canonem inuenies^,
pMes. jd eft <5 vnitates Si -~-.Qifi modus eft expeditior, quam vt
9 conuertas in f j, Si deinde multiplices per hunc canone

\ n ...

Integra p Siintegra duxeris perintegra Si partesivtSperycum
integret cu~r> e x8 efficies— f—, ex 7 cum -^efficies— ,conuerfis 7 ad
pttltui. r^-iSi additis-^. Ducefq; fecundum hunc canonem -2-
pcr^-,Sc ductis S ia 31, fiunt 2^S,Si 1 in+,SC fiet 4, id eft

-J-4 JL

4.

arithm. LIB, II.

44

Aliter.

Sperj

7 4

6

j£_

quod fi diuidas 248 per 4, proueniet 62.Totitaqj
fiunt duflis S in 7 cum-|- . Idem aliter more vulgarium,

Difpone numeros quemadmodum in inte-
grorum multiplicationibus, & accipe quarta
partemipforum8,& funt2: & quia funt -j-
accipies 2 ter,& pones 6 . Deinde dqc 7 in S,

8i funts6,& fient 6z,vt prius. Velficmulri-

plica j numeratorem-^- in S , & fiunt-^ , SC

prouenient 6 integra notanda,vt prius, fub 7 &c. vt pro >
ximeante.Prorlusfimilitercft agendum, quado integra
cum partibus, per integra ducuntur. panibwp

Si integra cum partibus ducantur in integra cum par- jN1 egrarf
tibus, integra multiplicandi conuertes ad partesiplius, p^tibut.
& integra multiplicantis ad partes ipfius,&: colliges fin-
gulas partes multiplicandi, & multiplicatis,Sc fecundum
hunc canone multiplicabis. vt fi ducas 8 cum 4- per 7 cii
-i-, ex multiplica do efficies ^ , ex multiplicate ver oi- 1 ,
quae dufia fecundum canonem efficiunt —if, qua? funt
6 s cum -f-. Hoc idem polles efficere, vt diximus folitos
facere vulgares.

P ${0 S LEMA 6.

“Datam Vel datas partes,per aliam Vel alias quafcunqut
diuidere .

Diuifio reciproca e (Te debet multiplicationi: quum
itaq,- per multiplicationem partium proueniant partes
minores, etfi maioris denomina tionis,diuifione partium
prouenient partes ili* , ex quarum multiplicatione ipfa:
fadta? funt. Idcirco quia vnitas dudta in medietatem
facit medietatem: fi medietas diuidatur per medietatem ,
proueniet vnitas. Si vero medietas diuidatur per vnitate,
proueniet medietas : &. fic de ali)s partibus factis e-x du/

INSTITVTIONVM

Annota-

tio.

Cimon ili
ni/mis .

cru vniutis in ipfafmet . Prxterea fi ex ducTtu-f in-|- »fit
-jdiuifa^per-^nProucnict -j-* Atq; fi.ex dudlu -j- iu
-j-fit-£- :diuila-j-per -f proueniet-i- vero ea diuidas
per^-proueniet-j-. Et fiex dudu-j-per-^fit-g-jdmifa
“rper-x ,prouenier4-;& dmila-g-pcr-r, proueniet-i-.
Ex fchcmate proxime procedentis problematis potetis
iutelligere hoc verifsima eiTe. Nam fi diuidas a f redtan*
gulu,vtpotc4- quadrati a c,in a e-j->proueniet a b vnitas:
ii verd diuidas per a b vnitattm,proueniet a e^- . At fi di-
uidas a k recrangulum , fcilicet quartam partem quadrati
ac »per a e medietatem, ex qua fa&umeft,prouemet a r.
medietas ipfius a b:atq; ita de reliquis.

Non eft iam quod miretur tyro.cur diuidatur pars mi/
nor per maiorem, nec cur parsexdiuiftoneproueniens
fit maior diuideda . Na fi dufta parte in altera necefiario
fit pars mitior, quum in vnitatum multiplicatione femper
proueniat maior numerus, cur non etiam necefiario feque
tur,vtdiuifa illa parte, quo ex multiplicatione procreata
eft, per altera earu,ex quibus fafta eft, fiat reliquaj&dini-
datur minor pars per maiorem, atq; ex diuifione minoris
partis per maiorem proueniat maior pars; quum diuifio
necefiario refpondeat multiplicationi, vt refolutio com-
pofitioni. In partium diuifione numerus quotus,feu pars
prouenies ex diuifione indicat rationem, qua habet pars,
qua; diuiditur ad diuidentetwvt fi diuidas-^ per-j- pro/
ueniunt nempe medietas. Quam iraqj rationem habe*
numerator partis prouenientis ad denominatorem, vt fn
dato exemplo i ad 4 , eandem habet pars , quo diuiditur
ad diuidentem , nempe-j- ad •

Duc numeratorem diuidendar partis in denomina-
tos em diuidenti$,& fiat produdlu numerator:duc deinde
denominatorem diuidendo in numeratorem diuidentis,
&fm uroduftmn denominator , & interie&a lineola, erit

faita

AlUTHM, LU, II.

<1S

fa&adiuiiio. Vt fi diuidas ^-per^-, fient—’ jcuiusexa- sxtmplu.
men eft. Nam fi ducas J-p er-ij proueniem , qua: per

problema i. huius efficiunt-f- .

Si diuidas integra per partes, vt fi fint diuidenda 8 per g x(W /
■^-difpones 8 forma partium, fic-f-- Et ducito S in ? 8C
fient 40, fcilicet numerator partium prouenientium, duc
1 in 3 & fiunt 3,fcilicet denominator prouenientium par
tium.interietta vero virgula fiunt-^f , nempe 13 integra.

Si diuidas integra perintegra cum partibus , integra
feorfum datadilpones forma partium, integra reliqua
conuertes ad fuas partes, & colliges omnes partes. Diui-
defqj deinde vtiubet canon. Vt fi diuidas? per ? &-f- . Exrwpl.
Diuides- 2 -pcr 8C proueiiict f-f ,id eft 1 « • Idem Aliter,
aliter ex 9 duflisper 3 fac 27, qua: erunt tertixtex 5 &-2-
du&is per 3 fac 16 tertias: diuide modo vt diftum efi
problemate 4. primi libri, 8C fient 1 & . Harc ratio di/

uidendi emergit ex ryfeptimi. Eadem methodo diuides
integra cum partibus perintegra.

A t fi integra cum partibus per integra cum partibus
diuidas.integra diuideda coucrtes ad fuas partes &addes
partes, integra diuidentia couertes ad fuas partes & addes
partes :fada conuerfione vtriufq;, operaberis iuxa cano/
nem . Vt fi diuidas duo integra cum-j- P er 4 integra E X emfi

& r~ Si } conuertes-f 8C-j- per 4 problema huius ad
-j- Si ex 2 integris efficies qua: funt colledfae cum
alqs-^ . Deinde ex-~& -—facies rf ,ad quas conuertes
4intcgradiuiforis,erutq;onines^|, Siverodiuidas !-f
P cr ‘1 prouenient Jfl.quaefuntj-fg. Examen, ducito Exawr».
modo rf® per~, &■ fiunt f unt nam ex

problemate S.primilibri. Qualis eft ratio S78oad2040,
cade eft 17 ad 6. quare fi 2 integra cum diuidas

N per

IHSTITVTIONVM

per 4&.'-J-8:-i-prouenientrf« , qu* funt-f <

V<HP BL E MA 7 .

Latia tetr agonic um datarum partium imenire.

Si denominator Sc numerator datarum partium ha-
beant latera tetragonica , ea fuis locis difponenrur inter/
SxeiHfw. pofi ta v i r g U | a . Vt latus tetragonicum-^ funt -f-,& latu*
tetragonicum j-f funt-f^mam-j-dufta; in fe faciunt
Si -|^duda: in fe faciunt xf. Si verd non habuerint latera
quadrata, ex problemate j.li. i„. accipies numeratoris pro
pinquumlatus ,8i deno minatoris fimiliter ,8i latus nu/
meratoris conftitues fupra latus quadratum denomina/
toris,& interpones virgulam . Vt latus quadratum eft
'Aliud. Nam latus quadratum 3 eft 1 Si 8i latu*

quadratum 1 1 eft 3 Si- f- . Sed h»c methodus qud pro-
pinquior eft pars vni integro , tanto eft fallacior. Nam
eifet latus quadratum 8i-~ * ,id eft 1 &jy,quod
A liter, ell falfu m. Aut quod eft certius, additis tribus paribus "ci/
phrarum numeratori, &totidemdcnominatori, erit latus
quadratu numeratoris 2 2 3 6 fuperponendum lateri qua
drato deno minatoris , nempe ipfis 3 3 16. Sic ffff > qu*
partes erunt latus quadratum-^- . Nec opus eft hos duos
numeros diuidereperdo . vt conuertantur ad minuta &
fecunda, vt vitetur labyrinthus particularum partium, Si
^ vero dat* partes non habeant latera quadrata;at reducta
ad minorem denominationem habuerint, tunc couertes
ad minorem, & earum quatretur latus. Vt-^-idem funt,
quod |-,quaru latus quadratum erunt -|-,qu* titia funt

iatus quadratum A.

PRO-

ar.it hm. lib. n, 4$

T\0<BLEMA 8.

Latus culicum datarum partium inuenire.

Si numerator & denominator habent latera cubica, ea
difponesinformam partium, 8 C erit peradium. Vtlatus Ex«%2
cubicum ipforu-^ eft -~-;nam fi cubice ducas^-, efficies
Si vero non habeant latera cubica, fedconuerfaad
minorem denominationem habuerint: tum illarum cu»
bicum latus accipietur pro cubico omnium partiu aqua-
lium cumipfis. Vt latus cubiciieruut-f-quia-^

&-j|fuut*quales -jf , quarum latus cubicum eft-^. Si Aliud,
Vero careantlatere cubico,inuenies eorum propinquata»
tera,quemadmodum docuimus problemate fi.primilibr.

& latus cubicum numeratoris collocabis fupra latus cu»
bicum denominatoris intcrieifta virgula : atq; illud erit
fetus cubicum datarum partium. Vt fi quatras latus cubi-
cum £-§: latus cubicum io eft i Si r£, 8 C latus cubicum 29
eft 3 quare erit latus cubicum ipfarum -}§

* 7 ,que methodusquo pars eft propinquior vni integro,
tanto eft fallacior. Nam eiTet latus cubicum t§ , -f -&-h,

* g ,id eft r ,-ff!,qu* cubici dutfta longe fuperant ,-|-:Vel Alitet,
quod eft certius fi eorum quatrantur lateta cubica, additis
ternionibus binis ciphrarum, latus cubicum -jf erit

V%pDLEHJ p.

Datis duabus partibus tertiam continuo proportionalem
inuenire.

Dentur , qu*ritur pars tertia cotinud propor»

tionalis. Quemadmodu docuimus probltm.7. primi lib.

N ii duc

I M S T I T y' T I' 0 N V M

duc-|-in (e a 8c fit ^ , quam diuide per -j-8C fiiit -rf . quas
redud* ad minorem denominationem efficiunt -§- , quae
eft pars tertia continuo proportionalis. Sic continuabis
inintcgris& partibus eandem rationem, modo integra
conuertas ad (itas partes.

T^OBLEMJ IO.

“Datis tribm partibus quartam proportionale inucnire.

Si datat tres partes fint continuo proportionales , dnc
quadrate tertiam, &produdum diuide per fecundam.
Exempla. & habebis quartam proportionakm.vt datis ,

reperies quartam continuo proportionalem e (Te : aut
duc fecunda in tertiam,fiue fint cotinud proportionales,
ftue non , 8i productum diuide per primam , & prodibit
.. , quartaproportionalis:vtfi-f-dant-y:quantadabitoi-S
m * duc-J-in-y ,& fit, quam diuide per fiunt =^-.
Lubenter accommodaffemproblemata progrefsionit,
& numerorum continud proportionalium coiligendorii
partibus colligendis, fi aliquid vtilitatis edent allaturatfed
quia non folum non profunt, veru etiam obfunt, proinde
miffa facimus.

f 1^0 S LEMA II.

Numerorum planorum altera parte longiorum latera
inuefligare.

Hi numeri fiunt ex dmffu duorum numeroruinarqua-
liumiquum aut? inatquales contingat ede infinitos,dcbef
dari minimi numeri rationis,qua habitura funt illa latera.

Note-

ARITHM. LIB. IX. 47

Noteturq; illa ratio forma partium, & per eam diuidetur ano».
datus numerus,cuius quoti accipietur latus tetragouicii,
eritqj latus minimum dati numeri, vtfint 48 difponenda BxemplX.
figura plana,cuius vnum latus ad alterft habeat rationem
tripla, difponentur miniminumcri rationistriplatforma
partium , lic-f : diuide itaq; 48 per-f 8i prouenicnt 1 6,
cuius numeri latus tetragonicum funt 4. qui numerus cft
rninimu m latus : quod ii 48 diuidas per 4, prouenient n,
qua: funt alterum latus, quod ad 4 habet rationem tripla .

Sitidem numerus difponendus figura altera parte lon
giore , & latera fe habeant in ratione fefquitertia,vteft 4 *

ad 3,formetur h*c ratio fic -f- , diuide 4S per-^- , fientq;

, id eft 36 vnitates , quaru latus tetragonicum funt 6,
quod eft primum latus dati numeriin data ratione , per
quod diuidentur 48 , & prouenient 8 , qua: funt alterum
latus in data ratione. Quare fi 48 fint difponenda figura
plana,cuius vnum latusad alterum habeat ratione ftfqui
tertia,erunt latera 6 & 8. Horfi laterum inueftigationes,
vt 3 i retragonici , comoda: funt ad acies quacunq; figura
parallelogramma pro ratione dati loci inrtruendas.

LEMJ 12.

AHronomicas partium O fexage(imarum & fexage-
naru multiplicationes per alias quacunque expedire.

Quandoquidem ha: Aft ronomicarum partium multis
plicationes & alia: fupputationes nullo modo differunt
ab aliarum partium fupputationibus,ha:c caufa fuit,vt cii
illarum problematis , altronomicarum fupputationum
problemata coniungeremus. Circulus diuiditur in jdo

N itj ftftf

INSTITVTIONVM

#i3ijiiwaaut id eft partes , quod fecerut Aftrono»
mi, quia numero dicritanni, nepejds nullus numerus,
qui pofiet in tot partes fecari,ta propinquus exiftit,quatn
360, Nam hic fit ex 6 numero perfe&o & 60: At hic ha-
bet plurimas paries, atq; etiam fit ex enumero perfedto
xojfub quo omnium numerorum genera continentur.
Habetq; 60 femiflem 30 ,tricefimam 2 : trientem 20 , vi-
certmam 3, quadrantem 1 5 ,quintandecimam4: quintan
leni Ujvnciamfeu duodecimam ?;fextantem io,dextan
tem feudecimam6. Adhatc pratfefert femi diametrum
circuli. Nam per 1 6 quarti/emidiameter fubtendit fexta
circuli partem , fic fi fexies ducas 60 , inucnies totum cir-
culum continere 3 60 partes, qu* 8 i gradus. Vnaquxq;
vero pars continet 60 particulas, qua: fexagefima: prima:
vel ternuia prima, feufcrupulifeu minutiae, aut minuta
dicuntur, fignaturqj forma partium fic -55, & per m aut
per rnotatur.Ynaqusq; prima fexagefima fecatur in 60
particulas, qu* fecunda: fexagefima: dicuntur, quare fe-
cunda fexagefima erit vna pars tcrmillefimafexcetefima
partis trecenrefim* fexagefima: cerculi,& fignabitur fic
, aut per 2 . vnaqusq; fecunda continet 60 tertias (e/
xagefimaSj qu* fignanturper xrsoos vel per?, fingul*
terti* fecantur in 60 quartas & notabutur per , ios-ions
autperq, Nam tot quartas continet qu*q; pars circuli
trecentefima fexagefima, atq; ita de ceteris fexagefimis
vfq; ad decimas dici pofiet . H* dicuntur ifHKosx
V erum 6otuigxi, id eft, partes principes circuli efficiunt
vna 1£hkovtc*:c/Ik, id eft.fcxagcnam, qu* fignii phy ficum
feu primu maius a vulgaribus Mathematicis dici deberet.
Si colligas fiofexagenas primas, id eft 3600 partes prin-
cipes circuli, habebis vna fexagenam fecunda: fi colligas
(So fexagenas fecundas , id efl 216000 partes principes,

habebis

A R I T H M. L I B. XI.

48

habebis vnam fexagena tcrtiamifi colligas 60 fexagenas
tertias, id eft 12960000 principes partes circuli , habebis
vnam fexagenam quartam &' c . V naquasq; pars princeps,
quae degradus dicitur,vnitati fimilis eft, qua; in quenciiq;
numerum duda.illummet gignit. Sic ait Diophantus
referente T heone in comment.in 9.caput 1 . libr. Magnas
conflruftionis, vilitas in quancunq; fexagefimam fiue fe-
xagenam ducatur,illam met gignit. Notabitur itaq; vna-
qiueq; pars princeps circuli per — , Se Prima fexagena
per -££ , Secunda fexagena per — °.T ertia fexagena per
.Quarta verd fexagena per— 1 l 9 c f 0 °?^ .

Quod autem pars feu gradus duftus in primam fexa^
gefimS faciat prima fexagefima , ^ h a

demonftratur fic. Sint dua; reda: b
a b, &C b c, qua’ efficiant quadratu
ac &vnaqu*q; fit 1 pars priceps
circuli, fecetur b c in 60 primas
fexagefimas,feu minuta, & fi t b d
prima fexagefima vnitatis,& per
3 1 primi ducatur parallela d e. .

Poftqua igitur, vt fe habet b c ad b d; ita a c ad a d, per 1.
propo.lib 6:at fexagecuplo maior eft b c ipfa b d , erit SC
fexagecuplo maius a cipfo a d, eft aut a c 1, pars princeps
quadrata, ergo 8 Ca d erit vna prima fexagefima,quar con
tinetur ab a b,i pte & b d prima fexagefima. Quare pars
duda per primam fexagefima procreat fexagefima pri/
ma. Similiter fi accipiamus fexagefimam parteipfuis bd,
qua: fit b f ,Sc per f ducatur parallela f g, erit f a vna fecun
da fexagefima contenta fub ab 1 parte & bf vna fecunda
fexagefima ; iracp pars duda in fecundam fexagefimam
crear.feciidam fexagefimam, & ita in tertias duda crea-
bit tertias ac. Deinde prima fexagefimain primam

fexage-

±=

J

g finitio

Tbeonif.

e

INSTITVTIONVM

fexagefimam dufta, gignit fecundam fexagefimam. Di»
uidatur a b in do a;qualia,iSC fit ipfius vna fexagefima pri/
mabh,& ducatur parallela h i, erit q; ipfum b i vna fe/
xagefima prima iplius d a : atipfnm d a eft vna fexagefi.
ma prima ipfius c a, eritiraq; b i fecunda fexagefima i-
pfuis c a , &. continetur bi fubbh & b d primis fcxa-
gefimis ipfarum b a vnius 8i b c vnius partis, quare
priina in primam procreat fecundam. Rurfus prima in
fecundam ducta parit tertiam, poftquam autem a f eii vna
fecunda fexagefima, Si eius eft fexagefima pars f h: ergo
ipfumf h tertia eft fexageftma.&cotinetur fub b h prima
fexagefima Si b f fecunda: quare pritna in fecunda dudfa
facit tertia. Deinde fecunda in fecundas du&a facit quar/
tas, fumatur ex b h pars fexagefima b k, qua: erit fexage/
fima fecunda , 8 c per k ducatur parallela ipfi b f linea k 1:
poftquam autem f li demonftrata eft tertia fexagefima,
eftq; ipfius fexagefima pars ipfum bl, erit ergo bl quarta
fexagefima & continetur fub b k 8C b f vnaquaq; earum
exiftente fecunda fexagefima:qnarc fecunda per fecundi
dudh facit quartam. Quod autem pars duda per fexage/
nas procreet ipfafmet, notum eft: quia fexagen* funt
fexagenarix colledfiones vnitatum:& in quencunq; nu/
merum ducitur vnitas illumme tprocreat.

Poftquam aute pars duda in fexagefimas Si fcxagenas
illammct fpecie in quam ducitur procreat, reliquum eft
demonftrare ex analogia feti proportione per id Si 17
fexti. autper rj & aofeptimi, reliquas denominationes
ex multiplicatione vnius cuiufcj; in alteram dudu pro*
uenicntes.

Sex *•

ARITHM. LIB. II.

45 >

Sexageiue. Sexageftm<t

/WfOC

qiiint. qtur. tert, fecu, prim. pars. 7. T. j , 4 . j,

M II M I I | | |

Hat magnitudines funt continud proportionale* ra-
tione fexagecupla.Sed pars in 2 dndta facit £,ergo per 17
fexti 7 in T facit 2 : fi pars in 3 facit j , ergo 1 in 2 facit j.
Item pars,2,4,funt proportionales,fed pars in 4 facit 4:er
goper eandem,? in Vdudia facit 4, & 1 in 3 facit:}. Dein-
de, pars dudla in 5 facit fjfed vt fe habet pars ad 5 , ita f ad
7 :ergo per i6fexd,Sc i9feptimi,?dudtain 3 facit 5, Ea
dem ratione , fi accipias quatuor proportionales parte, 7 ,
3,3, colliges ex i in 4, fieri 5. Itemfi pars in 6 facit 2 ,faciet
Tin si dudta,6 , & 2 in ^dufla,^ ,& 3 in 3 du£ta,£. Quare
addendo numeros denominarores,fiet numerus denomi/
nationis partis prouenientis ex multiplicotione,fiuefint
fexagefima:, fiue fexagena:.

Si vero ducas fcxageriam per fexagefima eiufdem de-
nominationis, 17 propohtione f.probatur prouenire fem
per pars,feu vnitas:quia vnitas eft medio loco proportio/
nalis,vt ex prima fexagena in T fexagefunam,&ex fecun-
da in I,& tertia in J ,fempcr prouenit vniras,nempepars.
At fi fintdiuerfarum denominationum, ex 16 propo/i-
tione fexti colligetur denominatio proueniens.Vtfiduca
tur fecunda fexagena in i fexagefima : quia fecunda, pri-
ma, pars, r, funt quatuor proportionales , & ex prima in
partem du£la fitprima fexagena: quare ex fecunda fexa-
gena in T prouenier prima fexagena. Sic fi ducas primam
fexagenam in 2 fexagefimam: quia ex parte in T fexagefw
mam,fit i fexagefima, prouenietcxduduprimatiexa-

O genae

Corolla.

rium.

INSTITVTfiONVM

gente in i fexagefima! fexagefima , 8c ita de reliquis erit
dicendum.

orolkriu Ex quo fequitur, fi denominatorem minorem fubtra-
has i maiore.remane bit denominatio proueniens ex mul
tiplicatione fexagenx in fexagefima. Quod fi maior de-
nominatio fit fexagefima: , proueniet fexagefima : fi mi-
nor denominatio fit fexagena:, fiet fexagena.

Ex problemate <$. huius colligetur prorfu e<edem partiti
denominationes ,ex multiplicatione prouenientes.

Difpone continua proportione fexagenas , & fexage-
fimas vt partes vulgares, vt vides,

fluarr. tert. fecun. prim.pars.T 7 7 4 .

lt<)GOOOO_Xl600') ?500 50 1 l _* 1 i - *

■*“"* i r ~ l~ l l GO ?SOO 21^000 1*95000»

Duc partem , nempe-^-in quancunq; partem,procrea^
bitq; eandem fpecie: vt fi ducas -J-in -i£-°-f-fier neceifarid
, id eft, fecunda fexagena : Duc-fin f^E-SC fiet
■jg™-, qux eft I fexagefima . Etficdealijs. Deinde duc
—i >n 550 -f-, fcilicet T ini, 8c fiet —goob~> 4 ua? eft 3 fexa
gefima . Sic fi ducas in fcilicet primam fexage

nam in fecundam fcxagenam , proueniet — — ^ , fcili/
cettertiafexagena. Pra-terea fi y^—-, id eft, fecundam
fexagefiuxatn ducas in — id eft, fecundam fexagcnam,
fient f~g-, qua’ funt id eft pars . A rq; ita de reliquis.
Quod fi ducas fecundam fexagenam — inT.ideft in
~ prouenieni qua? funt , id eft vna prima fexa
gena. At fi ducas yg--, nempe 1 fexagefimamin^-y-fiet
■ 5 -B-§~,quae funr { y^— , fcilicet r fexagefima. &c. Exhisde'
monftratio nibus in gratiam t v rouum fatca eft fequens «
bella. Ta

ARITKM. L1 B. I I.

?o

T ab e lia denominationum ex multi-
plicatione genitarum.

7

WquMquar.

teri. Ifccun.i

prim.lpars . | T /2 ]_J j_4 1

quint.

ieci. jnon.

SEHB33I

fext. qmnt.\qaar \iert. \

fecun.

prim.\pars

fffia

m m

laiiiiigfl»

quint.

quar.\tert. \fscun.\

irim]

pars~\ i

ons

lotia.

fcfiT.'

ftxt, \quint.

quar.

itrSr

'ecun.

tertj

fecHn.j

ftcun[prm

pars_

-U

2

te

fext.

quint.\quar.

jrtm.jpars

fu

.2-

4_

L

4_

5

quint.

quar.\urt. |

prim.]p^ 1 J_ 1 2 J

quar.

tert. \fecun.

prim

P««.| i | 2

. 5

tMUfcSSSB

ftcun.

prim .

pars

O

U.l_

? 1-4

_4 _

Id

' e

~"<r

'<f

pars

1 i

2

7

®BHS3f3H3H51

1 1 2

l

7 '

s'

8_

?

H

prim.\pars | r

2 1 J

4

s 1 *

II

J 1 4

I

1 7 18

1 ?

Ijo

Vfus labuU.

, t Sexagena? literis exprefla? funt, fexagefima? verdcha'
ra Aeribus numerorum apice fupra fcripto.Per prim. in-
telligitur prima fexagena,qu* fignum phyficumdicitur.
Per 7 intelligitur prima fexagefima >qua? minutu Si fcru/
pulusab alijs dicitur . Accipe in vertice tabula? denomi-
nationem vnam, alteram vero in latere finiftroj 8 i in pro-
fely de , fiue angulo communi inuenies denominationem
«x multiplicatione genitam.

Quando fit multiplicatio per conuerftonem
quid efl agendum?

Multiplicati numeri partes conuertesad minimam,re/
foluendo eas per fexagenaria muIriplicatione,iSf multipli/
cantis partes Similiter conuertes ad minimas. Deinde vna
in alteram duces 3 & produ&o denominatione dabis iuxra
tabellam denominationu,deindediiiidedo per 60 reduce*

O jj ad

INSTITYT10NVM

ad maiores partes: vt fi ducantur 30 fecun. 2 3 prima? fexa
Exempta gena?, per 39 partes , 28 7. Ducito 30 fecun- per do,& fiunt
1 Soo prima? fexagenae, quibus addentur 2 3 prima? fexage
na?,eruntqj 1S23 prima?. Pra?tereaduc 39 partes.per 6 o,
& fiunt 2340 i : quibus adde sS t , fiuntq; 2 368 T« Duc
modo 1823 primas per 23dST,&prouenient43i6864,
qua? dicenda’ funt partes.Nam prima? in i ducta* gigniit
partes, quas diuide per do, 8i fiunt 7 1 947 prima? , relidis
44 partibus. Rurfus diuide per do, 8>C colliges 6x71747
primis,i 199 fecundas, relidis 7 primis. Rurfus diuide
1 1 99 fecundas per 60 , 8i fient 19 terti* , 8c remanent 59
fecunda?. Quare fi ducas 30 fecun. 23 primas fexagenas
per 39 partes, 28 T,prouenient 1 9 terti* fexagena?, 1 ^ fe»
eunda?, 7 prima?, 44 partes.

Quando fit multiplicatio per tabulam proportionale mfe*
xagenariam , quid ejl agendum?

Tabula proportionalis fexagenaria dicitur , quddra/
tione fexagecupla componatur, 8C nullus numerus in
eius area reperiatur maior do. Sed quando ex dudu vnius
numeri in alium proueniret maior , aut «qualis numerus
60, pro fingulis doaccipitur 1 , vt fi effent ducenda 20 per
20, fierent 400, qu* fi ad fexagenas reducantur , erunt d,
& 40. Proinde in tabula ad profelyde 20 in vertice, 8i 20
in latere finiftro acceptorum,habes 6-4o:ex quibus nume
ris 6 dicitur finifter, 40 dexter . Dextro quidem denomi-
natio pra?fcripta,in tabella deno minationum genitaru,co
ferenda eft:finiftro verd numero tribuenda eft femper de/
nominatio vno ordine proxime maioris partis. Vt fi du-
cas 20 partes per 20 7 . notum eft prouenturas T fexagefi/
mas . Quare quum in tabula proportionali habeas 6 . 40,

erunt

erunt 40,1 fexagefim*,6 vero erunt partes . Si rurfus
ducas 20 Tfexagefimas in 20 3. prouenientd J, 40 4.

Si ducas 20 primas fexagcnas in 2 o fecundas fexagenas,
prouenient 6 fecundabo tertiat fexagen*. Si ducas 20 fe
eundas in 20 2, prouenient 6 primario partes, & ita de re-
liquis ed dicendum . Area tabui* dicitur quidquid eftin
tabula pr*rer fupremam ferie,qu* vertex, caput, &frons
dicitur: Sc prarter extimam feriem defeendentem ad latus
liniftrum.

Difpone numerum multiplicandu cum fuis titulis de-
nominationum,feruata analogia denominationum.Simi- c tnoit
liter difpones multiplicantis numeri lingulas particulas multipli
fub titulis proprijs,& f ubfcribes virgulam, ducesq; parti muuS
culam multiplicantis potentia maiorem, per fingulas mul f cr
tiplicandi , & fub titulis denominationum, ex multiplica- ‘ <iH P ro '
tioneprouenientium genitas, collocabis. Deinde fecun- P ortl °i>
dam particulam multiplicantis iimiliter duces per lingu-
las multiplicandi,&: prouenientesparticulas,fub proprrjs
titulif difpones, & ita ages de reliquisparticulis multipli»
candi/i plures habeat. Si multiplicandi numeri particula
accipias in vertice tabul*,multiplicantis accipies in latere
finiftro tabui*, & in profelydeinuenies particulam pro*
uenientemitoties autem ingredieris tabulam, quoties mul
tiplicabis. Si multiplicadus habeat tres particulas, feu tria
fegmcnta,&: multiplicans vnam,ter ingredieris in tabula.

Sivero multiplicans habeat duas, tunc fexies ingredieris
in tabulam,& ita de alrjs. Non refert, num in fronte, an in
latere finiftro tabui* accipias multiplicandumifed fi hunc
accipias in fronte, multiplicante accipies in latere finiftro:
quod fi multiplicandu accipias in latere finiftro, tum mul-
tiplicantem accipies in fronte tabui*.

O ii} Exem*

INS.IIT7TI.0SVM

Exemplum.

Sint multiplicanda: per tabulam 67 partes, 4 T,s 7 2,per
femet.Nam ha: dicuntur a Ptolemaro latus tctragonicum
4500. in tabula non reperies 67. proinde conuerte ad f e/
xagenas &fac 1 primam,

7partes,4r,j^j.Dirpone fec.prim.part. T 2 3 4
vt vides,duc 1 per 1 & re/ 1 7 4

perio in tabula 0—1 , ex 1 7 4 55

quibus 1 eft fecunda , quia y £ ^ ■

prima duda perprimam Q f 0 / 0 /
creat fecudam : quare erit 0 _ _ , . ,0 ,,
o tertiat fecunda, duco 0 * ■

primam 1 per 7 partes, & 0 - 4 ' 28 ,6 40

inuenio in tabula 0-7, Q / 0 /-/

quae vno interuallo dimif/ 1 An ,,

fofcriboverfus dextram: 5 J/

nam funt ex ante didis o — — — j — - - —

fecundp 7 prima:. Deinde — ,4 ‘ 10 ' 2 ^‘
duco 1 in4,& funt o-4> qua: noto vno limite ditpiilo,
deindeduco 1 per 55 & funtc— 55,qu*notoverfusdix-
tram vno limite dimiifo. Pratterea duco 7 multiplicanti»
in 1 multiplicandi & fiunto— 7,qUa: funt o fecunda: 7 pri'
ma:, deinde duco 7 in 7 & funt 0—49, qua: noto vno limite

dimiifo. Deinde duco 7 per 4, & funt o— i8,qua: noto ver/
fusdextram vno limite ommiiTo. Deindeduco7per5S
& in tabula inuenio 6— 2 5, qua: noto verfus dextram vno
limite omiffo. Prxterea duco 4 multiplicatis per i,& fiut

oprim*,4 partes, quas noto fnbproprijstitulis. Deinde
duco 4 per 7 &fiunt 0—2 8, qua: noto vno limite ommiflo,
deinde duco4per4,&fiunto— i< 5 ,qua:noto vno limite
ommilTo.Deindeduco4per proucniunt 3— 40, quas

noto vno limita: ommiiTo. Prteterea duco cf per i,& fiut
0-5 5>qu* funt o pars 5 3 T, quas fub proprqs fedibus coi /

loco.

ARTTHM. U8. IT,

S»

Ioco,deinde duco h per 7 ,8C funt 5-2 3, qux noto verfus
dextra vno limite ommiiTo, deinde duco ^ per 4 & funt
j— 4o,qu* noto verfus dextra vno limite omnuflb.deiu-
deduco^per^,&inuenioin tabula 30-2S, qua: noto
Verfus dextram vno limite ommi(To.Fa<fh's omnibus mul
tiplicationibus colloco lineam, & colligo omnes numeros
Si inuenio 1 fecun. i4prim. fppart. 7,14 2, 10 3.25 4.
Quod fi vni fecunda: fexagenx,qux eft «oprim. addas 14
prim, facies 74 primas, qua: duft* per fio efficiunt 4 + 40
partes, quibus A addas 59 part. 39 7, 1 4 2, 10 3, 2 5 ^inue/
nies ex du&mprimat&7partium4l ) 352,prouenire
44?9 partes 39 I, 14-2,10 3,23 4.

« . Multiplicare per 60 abfque aliqua denominatione,

quid jit?

Eft datas quafcunq; partes vno ordine augere, fcilicet
ex J facere I,ex 2 facere T,ex 7 partes,ex partibus ptimas
&c.fimi!iter.Vt A ducas 10 partes perfio,protinus dicito
fieri 1 o primas fexagenas: quia fi ducas 10 per 60, fiut 660
partes , qua: faciunt per 60 diuifa: 10 primas fexagenas.

Si ducas per 60 numerum 15 prim. 23 par. 437, 37 2, auge
vno ordine, & fient fecun. 2 3 prim. 43 part.37t:quado
enim fit folum per 60 multiplicatio eadem parsfumirur,
fexagies abfqj mutatione denominationis, quare cum
fexagies fumatur, fiet alia vno ordine proxime maior.
Quando ex vna parte per reductionem facis 6oalias pro/
Xime minores:vt ex 4 partibus multiplicando per fio fiunt
240 7' i tunc eas refoluis feu fecas in alias , non autem pro/
prie multiplicas per fic: id eft non aceruas feu coponis 60
Amilis denominationis partes, quo fit vt in ea multiplica»
tionc per fio, non proueniant partes maiores,fed minores.

PRO-

INSTITVTIONVM

?\ 0 <BLEMJ 12 .

'Data/aut datas Ajironomkas paries per alias quaf-
cunqut diuidere.

Diuifio neceilarid refpodet multiplicationi, Quare no/
ris denominationibus partis multiplicantis , & multipli-
■ ' canda;,ex quibus iafla cft pars, qua: diuiditur,fi per vnam*

Vt verbi gratia multiplicantem , fumma multiplicationis
diuiditur,nece(Tariddebctprouenire pars multiplicanda-
V t fi ex partibus io,in 5 T, fad* fint to? : fi djpidas so 7
per 5 T, prodibunt lopartes, Si vero fotdiuidasper io
partes, neccffarid prodibut <j i. Si topartes dudta: in ? z,
faciunt 50 T. Sidiuidasso 2 per $2 ,prouenient 10 par-
tes. Qudd fi diuidas per 10 partes fo2,prouenient s 2. Ite
(' exTin 2 fit^tquarediujfa } per T,prodibit 2:'diuifa jper z
prodibit?. Item 4fit ex parte duda in 4 , & ex J dufta in

3 ,& ex 2 in 2 .Ergo refoluendo, fi 4 diuidatur per partem
proueniet 4, fi diuidatur 4per 4 proueniet pars . Si vero
diuidaturqper 1, proueniet 3 :fi per 3, proueniet 1. Si vero

4 diuidatur per 2, proueniet '2 . Ha:c,ex fchemate proximi
praecedentis problematis, diuifis

reftangulis per latera fua,intelli/ b K h a

gi manifefte poffunt,conuerten* f H 1'" g

do fcilicet Irectangula ex multi- ^ “• ■ ' m ■

plicationibusfafta, in fua latera.

Nanifiredlangulfi ad fadlfi eft
exbavnaparte,bd vna fexagefi
ma prima , Si a d diuidatur per b

di,prodibitabpars;fi a ddiui/ —

dati,pcrbapartem,prodibitbd

T. Item / fi reftangulum h d vna 2 reftanguli a c, diuada-

lur per b d T , prodibit b h 7 . Et fi reftangulum fa , quod

eft vna

ARITHM. LIB. II.

5 5

cfl vna ? xquilis ipfi h d,diuidatur per b f 5 ,pr< 5 ueniet b a
pars feu vnitas ;Si per b a partem proueniei b f I & c.

Caeteruni fi perpendifli qua adhuc conclufa funt, facile
jnueneris denominationem cx diuiiioneprouenientem,
quando fexagefima, aut fexagena diuidenda habet maio/
rem denominationem quam diuideSjtune enim fubtradla
denominatione eius, qua: diuidit A denominatione diui/
dendar, remanet denominatio eius,qu*prouenit ex diui-
fione: dummodo numerus diuidendus fit maior aut a:-
qualis numero diuidenti. Nam tum vno interuallo elf de>
nominatio minuenda in fexagenis,augenda vero in fexa-
gefimis: vt fi diuidas 50 5 per 10 4, prouenient <; 7 : quia 1 0
4 ducta: per sT,faciut 50 5. Verum fi diuidas 8 5 per 104,
proueniet 48 2:quia Ii ducas 48 2 per 10 4, fient 480 §,qua:
diuife per do recidunt 8 5 .

Si verd diuidas fexagenam per aliam fexagena maioris
denominationis^puenit fexagefima eius denominationis,
quam dat fubtradio vnius denominationisab alteratvt fi
diuidas io fecundas fexagenas per 1 quartam fexagenam
prouenient 102 fexagefima:. Similis ratio eft quando di/
uidis 102 fexagefimasper 1 3 fexagefimam tnamproue/
nient 10 fecunda: fexagena:: quia li ducas rofccundas fe-
xagenas per 1 3, prouenient 10 2 fexagefima: : modd nu-
merus diuidendus iit maior diuidente.alioqui vno ordine
prouenit minor pars, vtfi diuidas 52 per 10 3 fexagefi-
masprouenier 30 partes: nam fi ducas 3opartesper io 3',
prouenient 300 3, qua: funt s 2 . Sed in gratiam tyronum
ha>c luculentius fequentibus regulis dilucidabuntur. Di-
uifionibus aftronomicis non folum maior numerus per
minorem , fcd &C minor per maiorem diuidi poreft. Hte
enim non differunt A diuifionibus vulgarium partium, vt
patebit ex fcquentibus.

P Canon

IN4TITVTI0NVM

Canongeneralis prouenientium ex diuifione
denominationum.

Quanjo numerus partui aftronoinicarum diuidendus,
fuerit maior diuidcntc , denominatio ex diuifione proue-
niens, tantum diliabit ab vnitate, quar partem principem
feu gradum prarfefert, quantum denominatio partis di»
uidetida: didat a denominatione partis diuidentis.
Difponantur denominationes partium cotinua propor-
tione lic.

Sexagena Sexageftmx

pm

qmn«. quart. tert. ftoin. pri*. i i x 7 *

canon par Si pars princeps per partem principem diuidatur,pro»
ticidaris l.ueuit pars princeps.

Cmm. Si per partes principes fexagefim*,aut fexagenat diuia

dantur prouenit eadem fpecic pars. V t ii diuidas per par-
tes principes: fexagelimas, prouenient 2 fexagefi m*:
nam ex duilu 2 in parte iit I ,CX tantum diltat * ab vilitate,
quantum denominatio z diuidendarnm abeftadenomi-
nationc partium principum.

Si partes principes diuidantur per fexagenas aut fexa-
Citnin 5. gcfimas,proiienit denominatio eiuldem numeri, fcd alte-
rius generis:vt fi diuidantur per2fexagefimas,prouenict
fecunda’ fexagsnc. Scribe afrronomicas partes inftar yul/
gariurn partium.Erit itaq; pars princeps 4-, Si vna 2 erit
5XV7,iuxta problema <S,liuius 3 (i diuidas-j-per 3^oVP ro ''
uenient — ^nepe vna fecfida fexugena.Quod fi diuidas,
4-per fecunda fexagenanijfciiicet ,proueniet-j7r 0 -§,
id cii' 1 2 fexagelima : Tantum enim ditiat 2 fexagefima
prouenieas ex diuifione ab 1 , quatum diftat-p diuidenda

ii de»

a ritum, lib. ri.

?4

ideno minatione fecundarum fexagenarum , qua- cft de-
nominatio diuidens,

Si pars ciiuidatur per alteram eiufdem generisjultcrius Cmott 4.
tamen denominationis , demes denominatione minorem
amaiorej& quod remanebitjdabit denominationem pro^
ucnienti parti 3 qua: cric eiufdem generis , fi deno minatio
partis diuidenda- iit maior denominatione diuideris;a!io/
qui erit alterius generis . vt fi diuidas 2 per f fiunt i lexa/ ExcmpW
gefimai,quod fi diuidas T per 2 fiet prima’ fexagena?:quia

i per Tdu flat faciunt 2 : &iper primas fexageuasdu&a:
faciuntT. Et tam um didat prima fexageraab 1 quantum
1 a 2. Ad ha:c ii diuidas-j^ primam fexageftmam,vt dixi-
mus problema 6 . huius, per ,5-o^prouenicnt- 3 ™ ,qu:e
funt—, nempe vna fexagena.

Omnis pars qua: per 1 'eipfam diuidit ur, procreat partes Canon j.
principes. Vtii diuidas 1 per Tnempt^ per fiunt §£,
id eft-i-. Si diuidas |per-° fient— , id eft-i- •

Si fexagena diuidatur per fex 3 gciimam, aut vice yerfa
prouenit pars denominata a denommatotibus earum fi- 4 ' m *
mul iunftis ,atq; efrfemper eiufdem generis cum ea quae
diuiditur.Vc fidiuidas^rper^fictrj— ■, id elt 1 «,quod Exempl.

ii primam fexagenam , nempe ^-diuidas per vnam fexa-
gefimam primaro,id cftsV,proueniet^-? = id eit vna fe-
cunda fexagena.

Omnes ha: regula’ vera: funt quando numerus diui-
dendus eft maicr,aut aqualis diuidenti,alicqui proucniet
pars vnoordine minortquod antea declarauimus.

Quando fit diuifio per conuerjionm tjuid eji agentium?

Couertes omnes partes diuidendas ad minimas,pariter
&diuidentes,fiperafta conuerfione diuidendus numerus
fit maior , eum diuides per diuiforem , & prouer.ier pars
denominanda fecundum traditas regulas, quod cx di.

F t) uiiioais

INSTITVTlONVM

1

uifiotie remanebit ducetur per 60, Si produdiidiuidetur
per primum diuiforcm, & proucnietpars vno ordine mi/
nor, 5 ic.fi militer. Si peradia coucrfione ad minimas par-
teSjdiuidendus numerus fitdiuifore minor, eum multipli
cabis toties per 60, imminutis vno ordine partibus, do nec
fiat diuide ndus maior, Si tunc diuidetur per diuiforcm, vt
Excntp Z« antea. V tfidiuidas 1 3 partes principes per 8 Ffexage-
fimas , per ) canonem prouenient 2 prima: fexagena:, re-
lidis 7 partibus principibus, quas conuertes, ducendo per
60, ad 420 7 , qua: diuifar per S 7 relinquunt pro quoto ^2
partes principes, per 5 canonem , Si remanet 41, id eit240
2', qu* diuif* per 8 T, creant jo 7 ,per 4 canonem, 5 i nihil
remanet;quare fi diuidas 2 ; partes principes per S T fexa-
gefimas,proucnient 2 prima: fexagena:, partes prin-
Aliiti. cipes,3oi fexagefima*. Sint rurfus diuidend* 7 partes
principes per 102, Manifeftum eft 7 non pofTe diuidi per
jo, quare ex 7 partibus efficio 420 1 ,quas diuido per 1 0 2,
5 i prouenient 42 prima: fexagena:, per canonem 4. Duc
Examen. 42 primas fexagenasper ioT, &C fiunt42o i,qux diuifar
per 60 faciunt 7 partes principes,

Aliud RurfusdiuidanturS prima: fexagena:,i 5 partes, per a
exemp lii T, <;o 2, ex diuidendo efficio 47 1 partes , ex diuiforc vero
170 1. quod fi diuidas 49S partes per 170 2, prouenient 2
fecunda: fexagenar,pcr 3 canonem, & remanent 1 ^ par-
tes,qu* nequeunt diuidi per «702. Quare ex ipfis efficio
9300 1, quas diuido per 170 2,proueniuntq; S4prima:fe/
xagentKjdC remanet 1 20 i,quas iterum refoluo in 72002,
quas diuido per 170 2 ,& prouenient 42 partes, relidis
602 ,qua:refo!uencurin 3600 ;, qua: diuifa: per 170 2,
exhibent 21 T.Quod fi velis vlterius/icdiuidendo, pro-,
cedere, inueniei jdiuifis S primis fexagenis, 1 f partibus

per

arithm. lib, it.

V

per 2 7 , so “,prouenire i fecundas fexagenas,' 54 primas,
42 parteSjii f, 10 2, 35 J,&c.

Qm ordo feruandus in diuijione partium Aflronomica-
rum per tabulam proportionalem ?

Quo hocgenus diuifionumpriorecompendiofius,ed
tyronibus videtur difficilius:quum veteranis, quorii fen-
tenti* itandum eft,videatur facilius. Omnes numeri arcx Annotatio

tabulae proportionalis fexagenarix fiunt ex duifru duortj
numerorum,quorum alter extat in fronte,alter vero in Ia
tere finiftro,& ad profelydem horum occurrit arealis nu
merus, qui diuidendum numerum prxfcfert. Quare diui
dendus numerus quxretur in area, quod ti diuilor accipia
tur in fronte,quotus ex diuifione reperietur in latere lini-
ftro:& ft diuifor accipiatur in latere fnuftro, quotus repe-
rietur in fronte, eritqj diuidedusprofelys,feu angulus co<
munis diuiforis & quoti.

Deinde feiendum, habendam efle rationem numeroru .
diuidendi 8C diuiforis,perinde ac in integris; vt fiin 34 no

continentur o plus quam ter, nec in tabulaporerit inueniri
alius numerus quotus maior ternario , & iuxta rationem
7 remanentium quxretur deinde pars quota . Atqjquado
numerus diuidendus eft xqualis,aut maior diuifore.ha bi-
ta ratione omnium particularum vtriufq;,tunc diuidedus
accipietur inter numeros areales dextros: fi vero diuiden-
dus Iit minor diuifore,tunc quxretur diuidendus inter nu
meros areales finiftrosialioqui toto errares ccelo, V t fi di-
uidas 1 7, per 6 7, notum eft, 1 nonpofle diuidi per <5:
exterum fi ex 1 1 efficias 60 'i, tunc prouenient lo.Proiiv
de quado 1 prxeipitur diuidi per 6,debet quxri fexta pars
vnius,quam inuenies in tabula proportionali,ftc,

P ii) Quando

INSTITVTIONVM

Quando dmfir. habet \mam particulam, quomodo fiet
per tabulam ditiifio ?

Accipe diuiforem in fronte tabui» , fub quo rccie de-
fcendedo inter numeros areales dextros, fi diuidendus fit
maior aut xqualis diuifoii: alioqui fi fit minor, inter area>
les fiuirtros,quxresdiuidenduni aut eo proxime minore,
e regione vero jn finirtro latere inuenies quotum refpon-
dentem, qui fecundum prxdifios canones denominatio-
nem accipiet. Notabisqjeum inter lineas parallelas lub
fuo titulo , rclidum vero numerum ex diuidendorurfus
quxres fub eodem diuilore aut eo proxime minorem, & £
regione fimiliter vt prius, in latere finiftro inuenies alium
quotuni, quierit vno ordine minor prius inueto,& ita de
alqs. Ide obtinebis, fi diuifor fumatur in latere finiftro,
&' diuidendus aureo proxime minor eregionc drxtror-
fum , tunc quotus reperietur in fronte dire fi e fupra diui-
M dcndum,autfupraeoproximeminorem,&c.fiitiiliter.

Exempla Sint diuiaendx 1 1 2 per i T, colloca numeros vt vides.

Accipe 2 aiuiforis in fronte tabui», fub quo -- ~ —

direfie defeendendo intet numeros areales
dextros, quia maior diuiditur per minorem, (

quxresu , quem non inuenies, fed io, qui

numerus eft eo proxime minor, quare acci- IlAH

pio !0,& e regione in latere finirtro inucnio z •
5,quitrtquotusproueniensex diuifione io per 2 ierunt qj
per c3not!em4fexagcfim»prim», ideo inter parallelas
fub titulo i feribo ? i ,qu» duci» in 2 1 faciunt 102, quas
demo ex 1 1 2 , & remanet 1 2 , qua: feribetur fupra 1 1 2

expuli/

ARITHH. LI B. It.

<r<*

expundas. Proterca fub i diuiforisinfronteacceptis,
quore direde dcfcendendo inter arcales numeros fini—
ftros.quia minor numerus diuiditur per maiorem, relids

1 diuidendam,& reperies e regione ad latus finiftrum,re'
fpondere 50, quae vno ordine faciunt particulam minore,
nepe fexagefimas 2 , quas noto inter parallelas fub titulo

2 &C quum nihil remaneat , prorfus eft diuifio perada , 8 C
exdiuifione 11 2 per 2Tpronunciaboprouenire ?T,3o 2,

Quando diuifor habet multas partes , quid ejl
agendum?

Et fipoffunt omnes partes diuiforis in fronte tabulae
accipi , ik fub eius partibus diuidcndi partes inquiri,aut eo
proxime minores, &e regione in finiftro latere accipi po-
teft numerus quotus, vt didum eft in procedenti canone:
commodius tamen accipietur omnes eius partes in latere
fmiitro, & e regione primo partis diuiforis dextrorfum
accipies primam partem diuidedi numeri,aut ea proximi
minorem in eadem linea a fronte ad calcem defeen-
dente, accipies numeros refpondentes reliquis partibus
diuiforis in finiftro latere acceptis,& coniunges numeros
areales refpondentes partibus diuiforis, fic vt numerus
areatis dexter refpondens vni parti diuiforis iungatur
cum numero areali finiftro refpondente alteri parti diui-
foris : quod fi fic coniundi numeri areales fingulis parti-
bus diuiforis in latere finiftro acceptis refpondentes,
pofsint demi d numero diuidendo, accipies in fronte
tabulo numerum refpondentem omnibus illis areali-
bus in eadem linea fub le collocatis , pro numero quoto ,
" qui

INSTJTVTIONVM

qui obtinebit denominationem,qua!em prima pars maior
diuidcndi numeri diuifaper prima partem diuiforiSjfecu
dum prseccdentes canones facere nata eft. Si abftracto
numero coniundio ex omnibus arealibus a numero diui—
dendo, aliquid ex diuidedo remaneat) rurfus illud per eof
dem diuifores ibidem acceptos fimiii methodo diuidetur
&. quotus fecunda diuifione proueniens erit pars vno or«
dine minor, eaquarprimolocoeftinuenta : caetcra perfe*
queris fi militer, donec ex diuidendo nihil remaneat.
Exemplum,

8 prima* fcxagena?,i 5 partes diuidend* funtper 2 T fe
xagefimas 5O2. Accipio

in latere fmiftro s Si fecun. prima: part. i 2
dextrorfumprocededo, 2

quia numerus maior per 2 3^

minore diuiditur , inter S 1 <; 1 jo

areales numeros dex- ~ ^ ^ , 0

tros accipio proxime ^40 2 &

minorem ipfisS. Nam fi viuifor .

accipiam 8,in fronte ta/ 2 . ?

bula? refpondent 4 pro , ^

quoto : fed in 8 , 1 ^ non
poffunt 2. 50 contineri

quater.-quare non accipiam lineam, in quaipfis 2 diuiforis
in latere finiftro acceptis ^ regione dextrorfum refpodet
0—8. 'quare e regione z , accipio c — 6 ,fub quibus diredte
defcendendo e regione fo diuiforis in latere fmiftro ac/
ceptis,inuenio2— 'o.quibusiundiis cumo— d,iicvrdexter

1 — s9
59 -

viiiusiugaturcum fmiftro alterius, fient 0— 8—3 o,qu* no
poiTuntdermex8.i$ diuidendis. Quare e regione 2 in la-
tere fmiftro acceptorii 11011 poffum accipere o— 5 ;proinde
accipio proximi minorem, fciliceto-4>cuiadnefto,vr di/

flun»

AIUTHM. LIB, II.

*7

ftum eft, fub 0—4 in eadem linea dcfcendete, e regione 50
in latere finiftro acceptorum, inuentos numeros t -40 ,Si
fiunt o-y-4o,qup demo ex fuperioribus 8,1 5 diuidendis,

& remanent a, 3 v, notandafupra 8, 1 in fronte linea?,
vbi reperi 0—4, & 1— 4o,inuenio 2, qui e(r quotus, & per s
canone, funt fecunda: fexagenpmotoiraq; inter parallela*
fub titulo fecund.a fecund.fexagenas.

Praeterea e regione 2 diuifori* in latere finiftro accepto/
rum inter numeros areales finiftros,quia totus diuifor di-
uidendo numero maior elt,quarro 2,35 diuidenda,vel pro
xime minores numeros, ea lege, vt cu f]s numeris, vel pro Lex eon~
xitne minoribus, direde fubiedosnumeros.e regione 50 iundionu
diuiforis in latere finiftro acceptorum , coniungam dex-
trum vnius cum finiftro alterius : qua methodo e regione
2in latere finiftro acceptorum, primus qui occurrit eft
1—48 : nam fi diredefub r— 48 , tX i regione 50 ih latere
finiftro acceptorum defcedas, inuenies 44—0, qui numeri
iundi pra?dido modd efficiunt 2—3 j— o,quar fi demas ex
(uperioribus2,jf,remanent2 notanda fupra 5, & quia
numeros,quos c6iunxi,inueni fub ^4, qux funr /n fronte,
accipiam 54 pro fecundo quoto, qua? vno ordine partes
minuendo, erunt prima? fexagenx:quare eas noto in pro/
pria fede inter parallelas, demptis q; 2,3 3, a 2, 3 ^.remanent
2 notanda fupra 3 5 . Praeterea eade methodo diuidendo
2 , qua? fuperfunt per 2 — to, fub 42 in fronte acceptis ,
r,eperio i regione 2 fateris finiftri» 1-24 , 8 c lub ijs direde
e regione lateris finiftri.reperio 3?— o,qua? coniunda
prxdidomodo efficiunt 1 — s? » quibus demptis a 2 fupe-
rioribus relidis ex diuidendo , remanet 1 T, Sc noto 42 in
fronte inuenta infequenti fede inter parallelas.

Prj terea fi diuidam 1 7 per 2— ^o,reperio fub 2 1 in fronte
acceptis, £ regione 2 lateris finiftri o — 42 , 8 c fub eo i

Q regione

I N STI T V T 10 M V M

regione flateris finiftri,inueniam 17— jo, qua: iunfta cn
0-40 faciunt r?— 30, demenda ab 1 7, & remanent ;o,quae
notabuntur fub 2,& z 1 7 inter parallelas. Praeterea fi di-
uidam 3 0 per 2— jo,ituieniam quotum e fle 10 2 , notanda!
inter parallelas. Eadem ratione potero totam diuifionem
abibluere. Quare fi diuidam S primas fexagenas,! 4 pare

tes per i T,?o 2, proueiiieta fecuda’ fexagen*j54 pri mar »

4; partes, 2 1 7 , 10 7 .

De diitifione particularum ajlronmicarum per 66»

Datam vel datas partes vno ordine minue , Sc erit per/
aftadiuiiio, Vt multiplicatione vno ordine crefcunt,fic
diuifionc vno ordine minuuntur: quare fi diuidendar funt
E#etwpl« 10 partes principes per 6o,prouenicnt 10 T.Nam fi ex 16
partibus principibus feceris!, flent doo 7 , quat diuife per
6o,reddunt 10 7 - Adhtec ex canone multiplicationum per
60, fi 10 1 multiplices per do, efficiunt lopartes. Item It
diuidas 20 partes, 1 ?7,42 z per < 5 o, minues partes vno or/
dine,& proucnient 20 7 ,i 52,423. 1

Vtilitm. V tilis cft h*c diuidendi per do ratio ad fupputandos

Koitu motus horarios planetarum , datis diurnis ex ephemeri-
dimnm. £ * 1 ^ IUS ' Subtrafto enim loco planet* initii diei i loco
initii proxime fequentisdiei, fi phuie«fitdire<S:us,aut
vice verfa , fi fit retrogradus , colligitur motus diurnus*
plancta;, nempe motus totius diei naturalis,qui conflat 24
horis. lungeitaq; bis 24 & femiflem,fcuquod ideeft,duc
24 per 2 & 4-»&proueniunt do hora:, qui numerus erit
diuifor:&quia per 2 &-|-duxifti24 horas, ducito motum
planetae diurnum per2&4~» £ ritc}; produfti ex2&-~
horarumad produflum ex 2 & -' diurni motus planetae,
per i7infeptimi,eadem ratio, qualis eft 24 horarum ad
diurnum motum plancta: : quare diuifo produclo ex z Sc

a ritum, iiil n." 18

-y in diurnum motum per 6o,proueniet idem qnorus,qui
proueniret ex diuifione diurni morus per 24 horas, vt pu.
tet ex definitione proportionalium numerorum. Minues
itaqu productum ex 2 motum diurnum plancta:

vno ordine, SiC proueniet motus horariusplaneta:. Sic
snotus diurnus Iunx 1 j , Exemptui

partium, *oT, if2:accipe psrt. 1 S

hunc numerum bis, & eius motiuLunx—ij zo 1 s

femificm, & colliges 3) diurnus 13 20 1$

partes,2o ‘1,372,30 3, que <5 40 7 ?o

numerii fi diuidas per 6o, jj 20 .7

proueniet motus horarius

Iunx illius diurni/cilicet 3 3 T, 20 ?, 371, 304. Quando Amhttio
verbi gratia ex 240 T diuidendo per 60 , colligis 4 partes,
non proprie eas diuidis per 60 , fed ex fingulis £0 I com-
ponis vnam parte; ideo non debet prouenire pars minor,
fed maior.

T<^0$LEMA 14.

Datarum partium aftronomicarum latus tttragpnicum,
aut ei propinquum inuenire.

Tetragonicum latus per femetduiSu procreare debet rstnomu
dataspartcs,autiiumerumproximumillis:dcbetitaq; ha. nttia ia.
beri ratio denominationu ex multiplicatione prouenien- terh te .
tium.ita vt denominator partium datarum habeat medie, ttugonici'
tatem,a!ioqui fi careat, reducetur ad denominationem
parem, vt medietas eius denominet partes la terit te trago,
nici. Nam fi i in T faciunt z, latus tctragonicum 2 , erunt T:

Si fi? per 2 faciunt 4 , erit latus tctragonicum 4 denomi-
nandum iz. Quod fi quxratur latus tctragonicum J.re-
folues | in fexagefimas quartas, quarum medietas 2 deno
minabit latus earum tctragonicum.

Q^ij Exem-

INSTITVTIQNYM

Utut

Utut

Ut,

Ut.

Ut.

Ut.

primoruth
port,

■ T

4
6

portet

portet

Exemplum meationis lateris tetragontci
per conuerftonem.

Qime latus tetragoni; 5 ' Lotus tetrog. quo rt. fecund.
pTTt. ,6 t- couucrtc JS Um fecundarum prims
partes ad 1 1 ° o T , quibus
adde 1 6 I ,& fiunt u 16 r ,
cuius numeri non quires
latus tetragonicum : quia T
caret medietate, quare con-
uertes eas ad 1269 d o 2, cuius numeri latus tetragonicii
eft 3 5<5 T,remancntibus|4-t» quas ex problemate trium
rationaliu conuertes ad 2 8i ; 3 fic;Si 71 3 dant 60, quantum
dabunt 224? &prouenient 18 2,903,8^, Deinde reduc
3 36 i ad partes principes, & prouenict totum latus t.etra/
gonicit dati numeri } 5 partium, 1 6 T t fcilicet 5 part. ^d T,
1 87 , 30 3, quem numerum fi in femet duxeris, procreabit
3 3 part.r j 1,49 2:quia datus numerus eft Turdus;

Qihi methodus feritanda ad inueniendum latus tetrago -
nicum per tabulam proportionalem ?

Si lineam diagonia tabula: ,ab angulo finiftro fuperiori
ad dextrum inferiorem obferues, in ea omnes numeros
quadratos tabulae, latcrti verd vniiin fronte , alteru verd
priori prorfus aequale.in latere finiftro inuenies: quadrati
enim numeri in profefydibusduorum squalium nume<-
rorum cotinentur. Vt fi in linea diagonia accipias 10-29
numerum quadratum, in fronte direde habes 25 eius
latus tetragonicum , atq; etiam direcie ad latus finiftrun)
pergens reperies 25, alterum latus priori squale.

Si prima particula fmiftra dati numeri denominetur i

numero

AR.IT HM. L IB. II.

f9

numero impari, fruftra qua;res in tabula eius latus tetra- cun onex
gonicum,nift fuerit denominata a prima fcxagena. Tunc tuitionis
enim denominabitur prima particula finiftraiateris tetra Interis per
gonici i partibus principibus. Vtfi proponatur inuenien lobulum.
dum latus tetragonicum 16 primarum fexagenarum ,40
partium, Quaeres hunc numerfi in linea diagonia tabula»,

& fupra ipfum diredte habes 40 , nempe partes , quod eft
eius latus tctragonicu , in alijs vero quaeres latera per re-
dudtione. Si aute denominetur prima particula finiftra i
numero pari, inuenietur tere fimili ratione, ac in integris.

Si prima particula dati numeri denominetur i primis fe-
xagenis, tunc ingredieris in lineam diagoniam cum dati
numeri prioribus duabus partibus : in alqs vero numeris,
quorii prima finiftra particula denominatur a pari nume-
ro , prima; eius particula; accipies latus tetragonicum,vel
propinqui numeri, vtin integris abfq; tabula; fubfidio,
quod notabis infra parallelas , 8C eius quadratum demes i
fuperioribus: deinde duplicabis latus primo inuentum,8d
per illud diuides,quod remanfit,& illius numeri quoti ac/
cipies quadratu, quod iunges cum produdto ex numero
quoto duifto in duplum radicis.ea lege.vt dexter vltimus
talis producti iungatur cum primo liniftro quadrati fadti
ex numero quoto,quod fi pofsint demi a fuperioribus re-
lictis, rite perafla eft feciida; particula; lateris tetragonici
inuentio: An minus, accipies alium quoti) tantiim vilitate
minorem, 8 i tentabis, A ita dudtus per duplum radicis,&
ipfiufmet quadratum iucta pratfcripta lege piifsintdemi
a fuperioribus ; quod toties explorabis, donec illafimul
iundia pofsint i fuperioribus auferri. Quibus ablatis,no/
tabiturinrraparallclasfecundaparticulalateris tetrago-
nici inuenta,& per ipfas duplicatas quieres tertiam parti-
cula lateris tetragonici, A militer vi inuenifti fecudam &c.

iii Sit

INSTITVflONVM

Sit per tabulam qua?renclum prim. part. i 2

’ latus tetragonicum j primarii 3

fexagenarum, 30 partium, i 7 , J _to_ t_ 40

40 5. difpono numeros, vtvt> ij 10

des. Qua?ro in linea diagonia, "Tq diiiifbr

qua? eft quadratorii, duas prio; ^ ,

res particulas, nepe 3, 50, quas

no inuenio.quare accipio 3— 4 v, numeros ipfis proximos,
quos protinus demo i 3,30, & remanent 5 Cupra 30: in
fronte vero tabulae Cupra 3—4-' , habeo prima particulam
lateris tetragonici.fcilicet i 3, qua: Cunt partes, quas dupli
co.Si fiunt 30, per quas diuido s partes 1 7,402, accipiens
30 in fronte tabulae, & defcendendo per eandem columna
inter numeros finiftroi,quia minor diuiditur per maiore,
inuenio 3— o,SC e regione in latere finiftro inuenio 1 o, cu-
ius numeri quadrarum eft i— 40 : atprodu&um ex duplo
lateris , fcilicct ex 30 in 10, funr 3—0 , qua? perfcripra lege
cum 1—40 iun&a faciunt 3— 1—40, qua? partialiter exhao»
riunr relidas 3 partes, 1 7 , 40 2? quare noto lofub r inter
parallelas, & concludo 3 primarum, 30 partium 1 7,40 2,
Examen, latus tetragonicum effe 13 partes, 10 f. Nam fi ducas 15
partes 10 1 in femet.obtinebis 3 primas, 30 part. 1 7,40 2 i
Irmeniendumeftlatustetragonicii32part.43 7 , 362,
Aliud. Difpono numeros cii fuis titulis p ifs x X ? 3

fubfcriptis duabus virgulis. . 4

Qmero primum latus tetragoni 4 4 " 6 , 9

cum 32 parr.aut numeri quadrati — 2J

proxime minoriSj&: a bfq; tabula j jj Is $

inuenio prima' panicula? iatus diu 1 for «.

tetragonicum cite s , rclifiis 7 : 7— 40 — 49

idem inuenirem in tabula pro- * t — 26 diuifor t}

. x . portionali. Ca?terum quia pars 4 — 46 — 00 23

AunoUtio • ~ - —

dufla per partes folum facit par

32 47 3 6 79 37

S 43 5

10 diuifor «.
7 - 40-49

it— 26 diuifor *!
4 — 46 — 00 23

11 —26 — 50 dtni/br j.

tcSjUO»

AR.ITHM, L I B, II.

6 o

tcSj non egeo tabula, vt in pr scedenti exemplo, m quo pars
per partem dufta faciebat primii parres,deinde vero primas
fexagenas. Ideo non iunxi 3 z partes cu m 45 T ad inuenien-
dum latustctragonicum,vtin priore exemplo, quod cilio-
litarium:quia prima particula dati humeri erat primarum fe
xagenaru, cuius denominatio eft ab vnitate,qu% medietate
carettat in omnibus ali}s numeris, qui inchoatur i particula
denominata a numero pari,abfq; tabula proportionali pof-
fuminuenire primp particula* latus tetragonicu.Noto itaq;

5 inter parallelas fub partibus, quia latus tetragonieum par
liti funt partes. Duplico 5 & fuit 10 partes, per quas diuido
7 partes, 45 1,36 2, S < iuuenio ex diuiftone poile prouenire
quotum 4<5 & 45 & 44: ceterum, vt prsdiclft eft.fi iungam
7—20, qua? refpoudent in area, 44 acceptis in latere finiftro,
quadrato ipforum 44, id eft cum 32-t 6, fient 71-52— i< 5 ,qua?
nopoffum auferre i 7,45, jfiiproinde accipio pro quoto 43»
quibusinareafubiorefpondent7— io,quteiundacumqua
drat04j,nepe cum 30— 49, fient 7,40, 49,qua?pofliint demi
&£.. Et proinde demo, & remanent 41, 47 2, &
jtrot0 43 Inter parallelas fub r. Praeterea duplico 5— 43 SC
Jiunt 1 1 partes, 261, per quas diuido 4 1,47 2 , & proueniiit
2 5 : produdo verd ex 2 5 in n— 26, nempe ipfis 4 — 43- 50,
addo perftripta lege quadratum 2 3, fcilicet 10—23 & fiunt
4— 4<>— oc— 2 5 , quibus demptis a fuperioribus relidis 4, 47,
remanent V 9 3 , 3 S 4 diuidenda: per duplum lateris inuenti,
jfcilicet per n— 26— 50— , 'quotus autem quiprouenit nepe 2%
notabitur inter parallelas fub 2. Praeterea fi diuidas relidas
59—3 3 per duplum lateris, fcilicet per 1 1,26,50, & perftesin
explicata methodo , particula quarta lateris tetragonici ev
rut v 3 .reliquas paniculas lateris tetragonici negligo,quod
hic procctfus in numeris furdis fit infinitus. Quod fi ducas Ex-imeiil
quadrate 5 partes,43 T, 2 5 2, 5 J prouenient 32 partes, 4$ T,

3$2,?7 3»3P 4>'0 5> 2 i 3 .feri idem eum priore.

PRO-

INSTITVTlONVM

LEHJ 15 ;

Datarum partium ajlronomicarum litus cubicum , aut
ei propinquum inuenire.

Latus cubicum per fe dudhim facit quadratum , quod
per fuum latus duflum facit cubicum numcru : quarfc pro
ratione harum multiplicationum quatretur denominatio
lateris cubici,vt fi Tdufla in T facit hxcdu&ain 1 fa<
cit 3, latus cubicum ? erit denominandum iT.qita ratione
fa&aeft hxc tabella.

Quare fi numerus deno- Sextarum interi cubici fecunda

minetur a quintis , aut a tertiorum primi

quartis.aut i fecudis,aut ptrtet

aT,aut i2,auti4,aut i e, P“ r ‘ ,un * partes

non poterit habere latus L 1

cubicum, nift couertatur _ _

ad denominationes tabu- ? *

lan exterum ad eas couerfus poterit habere cubicu latus,
vt diclum eft de integris.

Exemplum per conuer/ionem.

Quatre latus cubicu jypart.^T.jjj^l.zi 4,6 f, 1 ?;
has conuertes ad 17690884^9961 <j s cuius numeri
latus cubicum eft 1 20 9 4 ?, quar fi diuidantur per 6 o,
fient 201 t,re(idiis ?42:diuifis verd2oi J per 60, proue-
nient 5 partes, 21 T: itaq; latus cubicum 57 part. 5 $ T, 3 3 ,
44 ;,2 1 4,6 J, 1 6 funt 3 part.z 1 f, 34 2.

Idem exemplit per tabidam proportionalem examinatur,
quod latus habeat.

Difpono

ARITHM. LIB. tl, i

71

, Difpono datu
.numerum vtvi
des, quero inter
cubicos nume-
ros tabui* pro
portionalis 37,

pars

r

s

i

3 ? d

Inucn-

10

1?

10

23

tio prime

37

rr

7

44

21 6 1

notx late

3

21

34

27 y Mutfor

vel proxime mi _

nore eubicii> & 3 » ” ~ 3 / * diuifor

inuenio 0-27, 10

Si ad frontem tabulae inuenio eius latus cubicum J,quar

funt partes notanda: inter parallelas fub partibus. Demo
confeftim 0—27 cubicum 3» ex 37, & remanet io- triplico
3 & fiiit?partes ) quasfcribofub3. Secunda nota radicis jnuen-
quatretur fic, in latere finiftro tabulae acceptis 37 parti- tiofecun •
quaero e regione earum in area iopart.v>T, quas non in» <f<e.

uenio. Accipiopropterea immerumproxime minorem,
fcilicer 10— 29, fupraquein fronte tabulae habeo i7,quem
numerum notabis feorfum exploraturus.uum fit feciidus
numerus lateris cubici, hocmodo : Duco totum latus in-

uentum,videlicet 3 partes,i7 7 per triplum prioris lateris,
nempe per 9 part. Si fiunt 29 part. 3 3 T* quas rur fus duco
per eafde i7,& fient 8 part-22 T,i 1 2, quas fi conedam cit
cubico ipforum »7, qui eft 1 T,2 1 2,5 3 "3, fiet 8 partes 2 j 7,
42 ,273 T>quat nonexhauriut,quam proxime fieri potefi,
relidas 10 partes, ? c T,&c. Quomodo nec 18 T,e regione
ipforum ?7in finiftro latere acceptorum, exhaurient jo
part.yy7 relidas : quem ordinem feruansinueni 21 7 elfe
feciidam particulam lateris cubici, Si proxime exhaurire
10 partes, cr f.Nam fi 3 part.nT ducam per 9 partes, fci
licet per triplum prioris lateris,& produdumex hac inuI
tiplicatione^iempe 30 part. 9 7,rurfus duxero per 21 T,vt
fieri folet in extradione lateris cubici in integris , vt di-

L dum

I N*ST ITYTIONVM

fluro efi: problem.6.primilibri, inueniam io partes 33 T,
9 j , cui numero fi iuxta praffcripta legem coniunftioni*
numerorum tabula; proportionalis, adiecero cubicum ip'
farum 2i 7,id eft.t 7, 342, 2 il, inueniam proximum nu-
merum minorem cfle 10 part. 3 s ‘ »43 2,2 1 5 «quibus
traiftisa iopart. 5 ?F, 3 27443 > & c ’ manent 19 T, 20 ?,
233, &c. .

Oterum licet hic modus eodem tendat cum fequentt,
“* tamen quia fequens ad amuisim conuenit cum tradito mo

do, problemate.d.primi libri, proir.de hunc fequamur.
Triplico j latus primo inuentum ) & fiunt 9 partes, .duco 9
in latus primo inuentum, & funt27,quae vno limite fini-
ftrorfum fcriptae erunt prima::ditudo itaq; per 27 primas
cum 9 partibus ipfas 10 part. & 55 rreli<3as,&c, & proue
nient ?4T. Quod fi ducam 3 part«24?per 9 partespfient
30 partes 36 T,qu* rurfus dudlar per 24!, faciunt 1 2 part.
14 7,24 2,quinumerus excedit 10 partes ss i:quanto ma/
gis excederet , fi ei coniungerctur prxfcripta lege cubicu

ipfarum 24 T,quem ordinem feruansinuenio vtprius, fe#
eundam particulam lateris eiTe 21 T,&c.

Triplico deinde 3,2 1,& fiunt 10 part. 31, quas duco per
latus inuenrum,fci!icetper 3— *2 1 > Si fiunt ( vnojimitefi-
niilrdrfum promouedo,vt fit in integris) 33 feciid^opri

m*,5 partes,quibuspra;fcripta lege iungo triplum ic-J,

primam particulam huius coniungcndo cum vltima par-
ticula producti ex triplo per latus inuentum, & fiunt 3 3

fecund.40 primar, 1 3 partes,3 i, per quas diuidam 19, 29,
2 3,&c. & inueniam prouenire 34.fi itaq; ducam 3 partes,
2 1 7,34 2, per triplum duarum priorum particularum late
ris, nempe per io part. 3 T,& produtfum duxero per 3 4?,
& adiecero prarferipra lege cubicum ipforum 34, fcilicet
io,5S,4,fietni97 ) 7 2Ar3 > i?4,f85>S5S,47iq u f
*ur a numero rdiflo, remanebunt 1 2 3 , 28 3, 1 4,7 f , v S,

5<S

arithm. LIB. II.

7i

^6 f.noto itaq; 3 4 2 inter parallelas, Ideminuenirf.fi tri Aliter '
piarem 21 i fecundam particulam lateris cubici. & fi ent ,
pars, 3 7, qua? coiletfa? cum 9 partibus tripli lateris prioris
faeiut. 10 partes } T;has autem quatrere ^regione 57 part,
jn latere finiftro acceptarum, & fecundum priore metito'
dum quaererem tertia particulam lateris cubici.qua? labo»
jioftusinueniretur . Ex numero reliclo qu&Tc fecundum
Vtranq; methodurn.fi vacat, quartam particula lateris cu-
bici. Ca?terum quia ha?c inuentio lateris cubici per tabula
proportionalem fexagenariam 116 efi viui omnibus nume
fis , fed fis tantu quorfi nurnerus primus finifier e fi prima
rum fexagenarum,# aliarum particularum,qua> in tabel»

Ia notata: iuar.atq; eit longe prolixior & ditficilior, quam
quae fit per reduftionemiproinde confultu »elim competi
diadifciplinarum feflantibus, vtomillo tanto temporis
difpendio.cptcnti fint tantum per redu&ionem latera c«>
bicapartium Aftrouo micarum inuefiigare.

■ '[ TT^O 'B LEMJ 1(5.
r- Daturum partium numeros proportionales inuenire.

Hoc problema eft apprime neceflariii futuro Afirono-
no. noiienimomuiapoiruntintabulisAfironomorufi-
gillatimad r,velf, vel) reduci :(ed aliquid relinquendum
luitinduftriar rabulas verfanttum.ex problematum 7 &. 8
primi libri commodo vfu facil£ omnia, qua: quis defiderat
quoad f,& 2,& j iiiuencrit.

Quando ex numeris lateris iiniftri,& frontis tabularii, ttupUx v.
cupis ad communem eorum profdydcm refpondentes fut tabuU*
numeros inuenire, tiic hic tabularii vfus dicitur lateralis, rum Ad*.»
At quando ex numeris qui in profely dibus feu areolis ta- xomtcaru,,
bularutn extant,quo ad partes, qua? in area non reperiunv
tur.quarritur numerus in latere linifiro refpodens,cunc ta
bulae viusdicitur arculis. R fi In

mS.IlT V VI OtlVJt

LitcuUt. In vfu laterali tabularumPrimusiiumerusproportid/
nalis eft differentia vnius numeri lateris ab aliti eiufdem
lateris proxime feque nti, qui ihterdu m eff 60 nij aut aflu
vnus gradus,qui &. pars principalis dicitur, aut vnus dies
naturalis qui coftata4 horis,pro ratione coftrucfionis tai>
bular-. Secundus numerus proportionalis eft differentia
vnius numeri arealis ab altero areaIi ( pximo.Tertiuspro/
portionalis eft differentia dati numeri, qui qua-ritur in la/
tere finiftro tabulattveriim partiliter non reperitur , ab eo
qui eo eft proxime minor, aut proxime maior in eodem
latere. Ex his tribus Quartus inucftigatur,ducedo fecun/
dum in tertium ,& produ&umdiuidendo perprimum,
cui adhibetur denominatio fecundum problemata mftltie
plicationis & diuiftonis ipft competens; Verum quando
Arwotdlio. P r ‘ mus numerus proportionalis eft i pars feu vnus gra-
dus, tunc fufficiet ducere fecundum in tertium, nam lidi-
uidas produ&fi ex fecundo in tertifi p primtj, vt coftar esc
fecundo canone denominationum proucuientium in diui
fionibus,omninoidcmprodibit. Vt fi i pars datdt : quot
dabunt pTfNam fi ducas 6 f in <> ,iprouenient 542', quod
fi diuidas $42 petf) partem, prouenient f4l. quare ftiffi-
cit ducere fecundum in tertium.

Aretlit. ] n vfu areali Primus numerus proportionalis eft diffe-

rentia inter duos areales proximos , qui numerus dat dif-
ferentiam, quarexiftit inter laterales illis arealibusrefpon
dentes, qua? eft Secundus numerus proportionalis.
Tertius numerus proportionalis eft differentia dati nu-
AnnoUtio. ar£ a qujrendi, verum in ea non ex tantis, f numero

areali proximo, Obferuabistamehordinem numerorii 1 ,
an crefcant, Et dufto tertio numero proportionali per fe*
eundum , produftum diuidetur per primum , 8C pro-
dibit quartus proportionalis , qui erit addendus , (i

areales

ARtTHM. LIB. IT,

75

areales progrediantur crefcendo , alioqui fi decrcfcatit,
auferetur: at quia fecundus numerus proportionalis efl
i pars.proinde manet idemmet tertius ex multiplicatione
ipiiusper fecundum.vrpatctex 2. canone denomiuationfi
prouenientium ex diuiftone: quare fufficier, vt tertius di-
uidatur per primum; Vfrfi <5 7 dant t partem, pu quantum
dabuntiDucipartemperpTi&fprodibuntpijquas/idi*
uidas per <5 T.proueniet t pars 30 T,quare fufficiebat abfqjr
imiltipIicationediuidereplperdTj ■ Exiplumin

Motus diurnus luna: eft 1 3 partium , quxritur J horis ktmlivfu
quot partes peragrabit i Dicito 24 horte, quibus conflat
dies naturalis, exhibent 1 3 partes,’, hor* quantu exhibe
buntiDuc‘t3in.3,& iunt 39, quibus diuiflsperaq, prodit
jr.pars cumi^ , qua: funt 37 7 1 . iq.V. j#

13 partes conficiuntur aluna 24 horis, dpartesquot arrali.
horis peragrabuturfDuc 6 per 24,&funt i44,qu* diuide
per I3,& prouenient 1 1 hora:&~ Exitium

; 1 parsdat3S f.sSTquotdabuntJ Duc3piin28r,& Utculi.
fiunt 51 8 o 2 ', qua: fi diuidantur per do T i prouenient i6t
20 '2: tot igitur dabunt 28 T.vel hc diuidep-X o Tpci 1 par
tem & prouenient 9 8 o5,qua: funt 16 1, 20 Aquare fufii-
tiebat fecundum ducere in tertium. Aliud in

I pars, 37 F,daiit 1 partem feutSoT, quot dabunt fjt f dr(4 n f
Duc v? I per 1 partem 5 & fient s 9 T, quas diuide per 1 par
tem 37 T ,8C prouenient 3 d 1,29 2,41 ~,&c.

Ve parte proportionali per tabulam proportionalem
inuenienda.

In huncvfumpotifsimum videtur tabula proportio/
nalisinftituta.vnde &C denominationem obtinuit: qua: v/
tilis eft , quando primus numerus proportionalis inviis
laterali efl vnum,quod conhdcratur in do diuidendum, 8c

R itj inareaji

INSTITVTIONVM

etm'.

U templum

Cm»,

Bjttp Ium ,

in areali quando fecundus numerus proportionalis eft r »
quod cofideratur in 60 diuidcuduin . nam fi confidererur
diuidendum in 24, 'vt dies in 24 horas, partem proportio/
natem non inueneris in tabula , qua? propterea dicitur fe-
>cagenaria,quia tantu vtilis eft ad inueuienda? parres proa
portionalesratione6o. Quando igitur ingrederis in ra/
bulamper larus fmiltrum,autpcr frontem lpftus, multipli
catio fola fecundi in tertium exhibet partem proportion*
lem.vtiu tertio exemplo, (i vnaparsdat V,2S iquot da
buntlacceptis jyTin Utere finiftro,& 28 i in fronte : vel
vice verfa, in profelyde horum duorum numerorum inue
nies 16 f , 20 2 : tot itaque proueniunt in defiderata parte
proportionali. Nam h diuidas i6T, 2.04 per primam par-a
tem,prouenient tantum 16 1,20?, quare redundaret ea di
uilio. At quando ingredieris in tabulam arealiter, quia
fecundus arealiseft 1 pars, feu do 7 , Si tertius dutfus per
fecundum feipfum fglum efficir.fufficiet vt tertius diuida»
turper primum. vrinquarto exemplo.fi t pars 377 dant
1 partem, feu 60 T, quod idem efttquod dabunt S 9 Ffdiui-
de 597 per tabulam, per t partem 57 7 , & prouenient 56
1,292, 4> }, quanta «rit pars proportionalis defiderata.

FINIS SECVNDI LIBRI.

LIBER TERTI VS

DE RATTONIBVS

& proportiori&tii.

• ii:, 'fi -

A cy>! ratio ,ejl duarum magnitudinu eiufde genetis
■* *jecundum quantitatem inter fefe quadam habitudo. Ub.f.
Conferuntur autem fecundum quantitatem^ id eft, qua
vna alteram quantitate excedit , & eodem genere quanti*,
tatis prardit* eiTe debent.quarcratiointerduostermino*
yerfata , numeros numeris , continua continuis , corpora
corporibus,fuperficies fuperfiriebus, lineas lineis , fonos
foniSjtempus tempori conferet.

Rationem inter fefe habete magnitudines dicutur,qux Definitio
fojiut multiplicatet fefe inuice excedere. Etiifinonullar S,W-S? ;
incomefurabiles magnitudines ittotyijityil* irrationales,
feu fine ratione, nepe effabili, feu quptiuineris exprimi pof
fit, dicatur ab Euclide Ii, io.ratione tame inter fefe habet
aliqua. multiplicati; enim fefe excedut nota aliqua mefura.

Vt diameter £c latus quadrati, fitenim
'quadrati a b c d diameter b djiuius ve"
id quadratu fit e f b d.ex 47 primi qua-
dratum e f b d, quod fit ex b d fubtcnfa
angulo redo da b , eft arquale quadra* b
to lateris ab, & quadrato lateris a d.
quare quadratum efbdcft duplum ad
quadratum a b cd.ergoper 1 1 propofi
rienem octaui,ratio vnius adalteru eft
ratio laterum duplicata :quare ratio dia
metri b d ad latus b a quadrati , eft me-

dietas

INSTITVTIONVM

«dictas vnius dupla:, & dux rationes diametri ad latus qua
drati component vnam ratione duplam. Erit itaq; aliqua
ratio inter diametrum & latus quadrati. Natn multiplica-
ta: ha; magnitudines fefe excedunt aliqua meniura, feua/
rea com munijquyijlq^ifchemate eft notum. Nam triangu
lus d a b bis metitur quadratu a b c d produdtu feu multi
plicatumex a b in fe, 8 C quater metitur quadratum c f b d
multiplicatum ex diametro b d. Qua: caufa cft, vt diame/
ter Sf latus quadrati lib. io. dicantur linea: potentia com/
menfurabiles, cumTtnt ipf.e per iefeincommenfuVabileS,
Duplex itaq; erit ratio ,vna effabilis, qu:u fari? Grxce
DiutfioU’ dicitur, quaenumerisexprimi poterit , ideo Arithmetica
tionis. dicitur :alia vero erit kjjkt©. ineffabilis, qualis eftintcr dia

ntetrum& latus quadrati,& inter numeros furdos& fua
latera.Gatometracircavtrafq; rationes. Arithmeticus vc
, rdtantumcircaeffabilesrationesverfatur.

Diki/jo r« f^ at i 0 effabilis squalitatis dicitur, cu aequalia inter fefe
c eonferumur;inpqua/itatis, cuminsqualia Si minor confe
ratur cum maiore dicitur id e ft,minoris inaqua

Jitatis ratior.fi major cum minore esritoylic, id eft, maioii*
inaequalitatis. Minoris iiixqualitatis r.ationes.denominae
btintur d maioris inaequalitatis eorundem terminorii ra-
tionibus, praeponendo vtmijid cft, fub. Vt i ad i eft du-
pla,at i ad 2 fubdupla. Rationis maioris inaequalitatis ftm
Diuifto m plicia genera funtjWoMKwAwi©- multiplex,
gener* fuperparticularis,t 7 rtiitf«f fuperpartiens.Compofitagc/
fimplicU, hera nre\\avi\ee<riiniri/*c^@^ multiplex fuperparticularis,
& TB-oMa^-Aao-ifarmtf hs ,id eft, multiplex fuperpartiens.
Multiplex eft quando maior minorem aliquoties tantum
continet. Multiplicis fpecies,0WA<ttrt©-dupIa,vt2ad 1,
TjtTrAtrcimripla, vt j ad 1 iTtT^OTB-Aacrisf quadrupla , vt
4adi.&c.fimiliter. ‘

- ■" t: ' Super-

ARITHM, LIB, II I. 6j

Superparticularis dicitur , quando maior numerus mi-
norem tantum (eme]» 8 i vnam partem tantum, non autem
partes eius continet. Qudd ii maior totum minorem
Si eius medietatem contineat, dicitur «/are A/oj ratio

fefqui altera . vt 3 ad 2 :(i totum Si tertia tantum contineat,
dicitur vnr<7jorm fefquitertia,vt 4 ad 3 :fi totum 8i quarti
tantum,dicirur turiTnxpns iefquiquarra,vt <; ad 4,&c.

Superparticns dicitur, quando maior minorem tantum
femel Si eius aliquot partes, quae nullo modo partem effi-
ciunt, continet. Quddfi contineat fennel& duas tertias,
eritt7ri</!ifttj*STjnT»(/ fuperbipartiens tertias , vt <; ad 3.
Si femel Sc duasquintas,Vamrtifitf*t •mttJeJt; fuperbipar-
tiens quintas, vt 7 ad 5. Si femel Si tres quavtasWiT]=(fcie
gisrijicfluiii, vtjad 4 l 8 ic.

Ex fimplicibus rationibus fiunt duo genera compofi-
ta, vtpote multiplex fupcrparticularis , quando numerus
maior minorem aliquoties. Si eiiisaliquam partem conti-
net.quodii bis et medietatem, dicetur dupla fefquialtera,
Vt s ad 2. fi ter 8 i medietatem, tripla fefquialtera ,vt 7 ad
2, Sic. Aliudgenus compoiituin dicitur multiplex fu-
perpartiens, quando maior numerus minorem aliquoties
& eius aliquot partes continet . quod fi bis & duas tertias
eius contineat , dicetur dupla fuperbipartiens tertias, vt S
ad 2,&c. Notabis ex hoc fequi nullam rationem vocan
dam fuperpartientem, quando partes efficiunt aliqua par-
tem, nec dicendam rationem fuperbipartientem quartas,
quia duarquartp funt vna medietas,quare erit fefquialtera.

Rationis minoris inaequalitatis toride funt genera quot
& maioris.

In eadem ratione numen efje dicuntur, primus ad fe-
cuudum,isr tertius ad quartum, quando primus fecundi,

6 tertius

C ompo/Ita
genera.

Nota.

Defi11i.11,
lib. 7.

I N S T I T V T IO N V M

isr tertius quarti aqualiter fuerit multiplex , aut eadem
bars,aut eadem partes,

Hxc eft propria definitio Euclidis numerorum propor*
tionaliuin, nam qua: traditur libr. ?. Eudoxieft Magiftri
Platonis,non Euclidis, quam iure vt definito longe obfcu
riorem prretermitto.

7 . definit, s 2V« meri eandem rationem habentes proportionales di

4 je finit 5 a,ntltr ' hmhyix proportio, e fi rationum fmilitudo } /eu
comparatio duarum Aqualium rationum.

Quando itaq; primus fuerit fecundi atque multiplex, aut
fubmu!tiplex,vt tertius quarti, illi numeri funt proportio
nalcs, vt q ad?., ita 6 ad viceverfa. Has duas propor

tiones fignificauit Euclides per duas priores partes defini
tionis. Atproportionesqua: fiunt in rationibus fuperpar
ticularibus & fuperpartiemibus.vltima definitionis parte
fignificata: funt. vt ficur 4 ad d, ita 8 ad 1 2: na qua: partes
funt-£- ,catdem funt -£■ :feu qua: partes funt 4 ipforum 6 t
ea:demfuntSipforum r2,nemptdua:terria::& viceverfa
Vtd ad 4, ita t.: ad 8. In fuperpartienti analogia exeplfi.
Sicut s ad7, ita 15 ad 2 unam qua: partes funt s ipforum 7
eardem funt 1 s ipforum 2 1, nempe quinq; feptimauiSc vi-
ce verfa, vt fe habent 7 ad 5, ita 2 1 ad 1 5 .

9 j c finit, j Proportio in tribus terminis vt minimum exiliit.

Harc dicitur continua , in qua funt tres termini natura
diuerfi,vt ficut 4 ad < 5 ,ita 6 ad 9, fed reuera funt 4 termini,
nam fecundus bis fumitur.

Difcontinuaquatuor terminis natura diuerfis confiat,
Vt ficut 4 ad 6, ita toad 15,

Quando tres numeri proportionales fuerint primus ad
t ‘‘ n ' ! tertium duplo maiore rationem habet quam ad fecundu.

Nam

ARITHM, tIB, J11, M

Nam ratio extre morum copofita eft ex rationibus me*
dij,quae funt duae aequales.

Quando quatuor numeri fuerint continuo proportiona
les, primus ad quartum triplo maiorem rationem habet,
quam ad fecundum , isr ita deinceps Vno minus quandiu
fuerit proportio.

Nam Ct fuit quinque cotinuo proportionales, primus ad
quintu quadruplo maiorem ratione habet quim ad fecuit
dum : nam proportio primi ad quintum quatuor aequali-
bus rationibus conflat, fdlicet primi ad fecundum, fecun-
di ad tertium , terttj ad quartum , & quarti ad quin-
tum.

c/ioHfyu homologi /eu eiufdem ordinis inter fefe dicun i uiefUi
tur omnes numeri eiuj dem proportionis antecedentes, &
omnes confequentes inter fefe dicuntur etiam homo -
logi.

%atio ex rationibus componi dicitur, quando rationu
magnitudines in feipfas multiplicate efficiunt riva ali-
quam, non aliquas.

Ita enim cenit o legendum, qux fic compofita eft com-
ponentibus aequalis, id eft, quando homologi numeri an-
tecedentes talium rationum multiplicati inter fefe effi-
ciunt aliquem antecedentem : 8( homologi confequemes
earundem rationum efficiuntaliquemconfequentnn.

Horum enim qui gignuntur ratio eft compofita cx datis
rationibus. vt fi componas fcfquialteram-x cum~-fefqui
tertia, fiet vna dupla

S «i Vnde

INSTITVTIONVM

Corolljriu. Vnde fit vt datis quibufciique numeris extremis, ratio

Vilius ad alterum componatur ex omnibus rationibus in-
termediis. vtfi fumas 5 &C r,qua: ratio eftquintupla ,ea co
ponetur ex ratione fefquiquarta, qua: eft f ad 4,& fefqui-
tertia,qua: eft 4 ad 3 ,& iefquialtera, qua: cft 3 ad 2 , 8 C du-
pla, qua: eft 2 ad 1. omnes enim hae rationes compofitar,vt
docet EudideSjfadunt vnamquintuplam. Vel fi vnum
medium numerum acceperis, fcilicet 3, ratio quintupla co
ftabit ex ratione v ad 3 fuperbipartiente tcrtias,& ratione
3 ad 1 ,qua: eft tripla, ha* enim dua* rationes component
vnam quintuplamiquod non folum verum eft, quado me
dium extremo vno eft minus, altero vero maiusfted etiam
quando vtroqj extremo maius eft, vel minusivt fi digeras
2.5, 3. ratio 3 ad 2 fefquialtera, componitur ex rationibus
3 ad s ad 2. nam difpone ^SC - z - , & fiet ratio per s
definitionem 6 libri, 15 ad io,quae'ert Iefquialtera. Velft
fic digeras 6, 2, 4, ratio 4 ad 2 dupla, & 2 ad 6 fubtripla,'fa-
ciuntfubfefquialteram, & proinde ratio fubfefquialtcra
componetur ex dupla 8 i fubtiipla.

Modi colligendi ex rationibus -

1 Errt&arj hiyti perttiutatini r atio( qua* temere vicifsim k

Zamberro interprete dicitur) efl acceptio antecedetis ad
antecedensyisr confequentis ad coiifecjuens.

Vtficuta2 ad b4,itac3,ad dd.quare&permutatim,vt
a2adc3,ita b .3 ad d 6 .

Ar«w*A/f/ xlyi acceptio confequentis tanquam an
tecedentis,ad antecedens tancjuam confequem.

V t ficut a 2 ad b 4, ita c 3 ad d 6 i ergo vt b 4 ad a 2, ita d &
ad c 3.

«4-dcf.f. xvytans \oys compofitio rationis , e fi acceptio antecede

tii

JUITHM. LI B. I II.

^7

(is cumcoffequentetanquam Vnius adipfum confeques.

Vt ficuta 2 adb4jitac jadd6ifrgovtab6adb4,itac
d?add<j. Vel aliter

Eft acceptio antecedentis cum conferente tanquam V-
nites ad antecedens.

Vt fe habet 2 ad 4>ita 5 ad 6,'ergo vt 2 8 C 4 3 id eft 6 ad 2, ita
j & 6, id eft 9 ad 5.

Atcugtois Aor» diuijio rationis , eft acceptio differentia 1 s,defin.t
inter antecedens (yconfequens ad tpjum confequens } y>tl
adipi um antecedens.

Vt fe habet 4 ad 6,itaSad u; ergo vtfe habent? differ?
tia inter 4 8 C 6 ad 6,ita 4 differentia inter 8 & 12 ad i2.vcl
itafe habebut2 ad 4, vt 4 ad 8.

hvcis]pjfti \oyvjubuerjio,auteuerfto rationis , eft ac- li.Scfin.i
ceptio antecedentis ad differentiam mier antecedens &
confequens . V el erit acceptio confequentis ad eandem
differentiam.

Vt fe habent 4 ad 6 , ita 8 ad 1 2 : ergo vt fe habent 4ad 2,
differentiam inter 4 & 6, ita fe habent 8 ad 4 differentiam
inter 8 & i2;vel,vtfe habent 6ad 2 difierezuiam»ita I2ad
4 differentiam.

esiitns \iyosex sequo ratio, ftt quando plure s numeri bi-
natim [uniuntur, Zyalij totidem numero in eadempvel eif- 1 *
dem rationibus cum prioribus , Vi fe babetin prioribus m
meris primus ad vltimum, ita in fecundis primus ad )>lti-
mum. Jut aliter , eft acceptio extremorum perfubtra-
flionem mediorum.

Vt 8,4, t ,ita i 2 .,< 5,3 :ergo vt 8 ad 2,ita 1 2 ad } , vel quando

S iij indi»

ihstitvtionvm

in diuerfis rationibus proponuntur priores, ytSj^q, it*

1 2,9,6:ergo vt fe habent 8 ad 4, ita iz ad 6.

Pratter hos modos colligendi fimpIiceSjOC/
currerunt mihi aliquando hi fequentes intri-
catiores.vt ficutaad b,itacadd: 8C ficuta ad
c,ita c adt.ergo vt a ad be,itacaddf:quar
«tt compofitio rationis. Cuius diuilio erit hu-
iufmodi.vt fe habet a ad b e, ita c ad d f: & vt
a adb,itacadd:ergovtaade, itacadf.Velfic,vta ad b
e, ita c ad d f:SC vt a ad e, ita c ad ftergo vt a ad b,isa c ad d.

it.dcfin.f Ordinat# proportio esi , quando fuerunt antecedens ad

canfequensfita antecedens ad co/equens: Vel vt confeques
ad aliud quippiamfc confequem ad aliud quippiam.

Vt 'vides in prscedcnu' exemplo, in quo rectum ordiV
nem feruant termini.

bo defin { Perturbata proportio e ft, quando futuuntur tres nume

ri,atq ; ali) totidem multitudine, Vt in prioribus nume-

ris Antecedens fe habet ad conjequentem, (ic in fecundis
mi mens antecedens fe habet ad confequentem : Vt Vero in
prinus numeris confeques {e habet ad alium quempiam,
ita in fecundis altus quijjuam numerus fe habet ad ante-
cedentem.

Exemplum. ficuttJad 3,1« S ad 4. SCvt j confeques pri ,

m:t' rationis fe habet ad 2 alium quempiam nu- 6— 3 1

merum , ita 12 alius quifpiasn numerus fe habet V/
ad S antecedentem fecunda? rationis. Quare fi
proponantur perturbatimd,j,z,8£ 12, 8,4':vt iz 8—4

tSad 3 ,

r ed.

lb 4

dd

ARITHM. LI B. III.

6S

6 ad 3,itaSad4:&: vt 5 ad 2, ita u adStcrgoetiaeJt xquo
Vtfehabent6ada,iia 1 i a d 4-

T%0<BLEM~A 1 .

DaU rationif cuiufcunq-, JJzeciei exipfo nomine mini
mos terminos em inuemre.

In rationibus multiplicibus denominatio prodit fem-
per terminum maiorem ex minimis terminis eius ratio»
nis.alter terminus eft femper 1 .vt tripla? primus terminus
eft 3, fecundus t, Sic. In fuperparticularibuspoftrema
pars nominis prodit minimum terminu eius rationis , cui
fi addas 1, colliges alterii termin£i,vt in fefquialtera, altera
dicitur de duobus, idcirco 2 eft minimus terminus , cui Is
addas 1 , fiunt 3 . quare dico 3 Si 2 effe minimos terminos
fefquialtera?. Similiter in fuperpartientibus vltima par*
nominis iignificat minimum terminum rationis,cui fi ad/
das numerum aduerbrjdn medio nominiscollocati,habe-
bis alterum terminum eius rationis ex duobus minimis.
Vrfi qua?ras minimos numeros rationis fupertripartietis
quartas, 4 erit minimus terminus, cuiadde 3 fignificau
per aduerbium tri. Si fiunt 7. dico 7 & 4 effe primos, feu
minimos numeros data? rationis. In multiplicibus fuper/
particularibus rationibus vltima pars nominis fignifi-
cat minimum terminum rationis , qui eft multiplican-
dus per denominatione multiplicis, & addeda vnitas. Vt
volo fcire minimos numeros rationis tripi* fefquitcrtiar;
vltima pars nominis, tertia, pra?fefcrt 3 , qui eft minimus.

terminus

IN JTIf VTIOMVM

Uxtmphm

Exempli?.

terminus dat* rationis, qui ducatur per 3 vnde dicitur trl
ph,& fiunt 9, cui adde vnitatem, & fiunt 10. dico 108C }
eiTe minimos numeros dat* rationis . Similiter in multi-
plicibus fuperpartientibuSjVltima pars nominis prodit
minimii terminu rationis , qui multiplicatus per rationis
multiplicis denominatorem, tii producfo additus nume-
rus partium,qui fignificatur per aduerbium, produnt alte
rumtermiuu maioremtvt fivelis fcire primos numeros ra
tionis quadrupl* fupertripartientis quintas : primus nu-
merus eius rationis minimus eft qui quadruplicatus fa-
cit 2o , additis vero tribus, fiunt 2 5 ; dico 2 3 8C s eiTe ratio-
nis quadrupl* fugtripartietis quintas minimos terminos»

¥ %0 L E MA 2 .

Datis numeris quomodocunq^minimos eandem ratione
cum illis habentes inumre.

Propofitio 3 s feptimi. Si reciproci minorem k maiord
auferendo, pcruenias ad vnintem,per primani feptimi e-
runt adinuiccm pritni,& per 2 3 eiufdem,eruntminimi nu
meri omnium eandem rationem habentium cum illis. Si
reciproce minorem a maiore auferendo tandem peruenia
tur ad aliquem numerum alium ab vnitare, ille erit rneiifn
ra maxima comunis vtriufq;, per 2 propoli, eiufdem. Di^
uids modo per eam menfuram maximam vtrunq; nume-
rum datum , & prouenienrcs quoti erunt minimi numeri
habentes eandem rationem cum illis, Vt detur primii 19

6 i3,deme 13 A i9,& manent d,qu* deme A 13, & manet

7 ,rurfus deme ayipfa 6,& manet 1 iquare 19 & 1 3 funt
primi ad feumicetn,& minimi omnium qui eandem cutn

A R. I T H M. L I B. II tj

6 9

illis rationem habent, Sint dati numeri 21 &rs,deme
1 r a 2 1 ,Si manent < 5 >q ux deme a t s, 8i manent ?, rurfus a
9 deme 6,SC manent 3,quod fi i 6 demas 5, manent 3, .pa-
re 3 eft maxima mefiira communis 21 Si i?:dtuide > 1 per
3 , 8i proueniunt7, diuide tf per y,Si proueniunt s:qua-
re 781 s funcminimiiiumeri omnium habentium eadem
rationem cum 2 1 & 1 r, cuius caufam reddunt du* fequen
tes propoiitiones,

7 beorema primum,isr propnfitio 3 .

Si aliquis numerus duos multiplicans fecerit aliquos ^ge-
niti ex eis eandem rationem habebunt qua multiplic ati.

Propofitio 17 feptimi multiplicet % duos numeroSjfcili
cety Si fient 3 5 SC 1 s, quorum ex prarcedentiproble^
mate minimi numeri eandem rationem cu m illis habentes
(uut 7 (X cuius ratio eftmatn.fi t multiplicans 7,facit 3
Si multiplicas 3, facit 1 %, toties inuenietur 7 in 3 s, quoties
3 ili 1 5, nempe quinquiesiquare qualis pars eft 7 ipforu 3 r,
talis elt 3 ipforum 1 <fi Vndc per definitionem numerotii
proportionalium.qualis ratio eft 7 ad 3 talis eft 3 ad t r,
quare permutatim,qualis ratio eft 7 aditalis eft.3 5 ad 15,
quod erat demonftrandum.

Theorema 2, ptopo/itio 4.

Si per aliquem numerum duo alij diuidantur, prouenie-
tes ex diut/ionibus eandem rationem cum illis habebunt.

Harc eft conuerfa per refolutionem , vt fi diuidas 3 s Si
1 3 per ?,prouenient7 Si 3, qui multiplicati per-.f, facient'
15, numeros eiufdem rationis cum 7 Si 3per prsce
dentem.

T Theo

I H S T 1 T VTlONVM

Theorema ypropofitio 5 .

Si duo numeri aliquem mulriplicates, fecerint aliquos*
geniti ex eis e aude ratione habebunt, quam multiplicdtes.

Propofirio iS feptimiconuerfa ij-Cint } 8 C 2 habentes
fe in ratione fefquialtera,qui multiplicent & fient 1 8C
1 o,qui fc habe bunt in eadem ratione cum 3 iX 1.

Theorema 4 propofitio6.

Si aliquis numerus per duos diuidatur, geniti ex diui -
ftonibws eandem rationem cum diuiforibus habebunt ,/ed
alterius generis. . . ; , ; *

Sint 40 j qute diuidantur per $ 8c 4> & prouenient $ 8 C
10, quihabenteandrm rationem, fed alterius £eneris, id
cft.fi data ratio fit minoris inajqualitatis,qua: proucniet.c'
rit maioris inarqualitaris,&: contra.

f<^0 Si EMJ 3 . ?%0T0SIT. 7 .

Datorum numerorum rationes fuis nomenclaturis expri
mere.

Per fecundam huius quatre minimos numeros eandem
cum ipfis rationem ha bentes , aut ex illis minimis , minor
menfurat maiorem, id eii,aut cft pars eius, aut non. hoc au
tem deprehendes diuidendo maiorem per minoremaiam
fi ex diuifione nihil remaneat, minor menfurabit maiore,
Muttipkx Si inter cos erit ratio multiplex : fi ex diuifione prouc-
nifns frx. erit dupla , Si minor erit medietas maioris : fi
quotus fit 3, erit maioris ad minore tripla, &c. Si verocx
diuifione maioris per minorem proucnicns quotus fit 1,

Si rema»

ARITHM. LIB. III.

70

3f remaneat 1 , inter tales numeros eft ratio fuperparticur
ljris.h diuitor fit i,erit fefquialtera,vt 3 ad 2, ii diuifor fit Superparli
3,tunceritfefquitertia,vt4ad 3. iemperenim diuifor da- “‘Uris.
bit denoininatioiietn relidto ex diuifione . Si vero maio-
rem diuidedo per minorem quotus fit vnira s,8t remaneat
aliquis numerus alius ab vnitate,ra tio erit inter eos nume
ros fuperpartiens , & diuifor dabit denominationem nu- suppurtict
mero relicto, qui exprimetur peraducrbium-.vt fi diuifor
f« 3,8: remaneant ex diuifione 2,nempe^-,quare crirfu-
perbipartiens tertias, &c. Si vero maiorem diuidendo
per minorem, quotus fit alius numerus ab vnit3te, fi ex di
uifione remaneat 1, ratio erit multiplex fuperparticularis, Multiplex
denominationem multiplicis dabit quotustdenominatio/ /“ferparii,
nemparticulr dabit diuifor, vtfi fit diuifor 3 ,& quotus
fit relictus ex diuifione iit i,crit ratio tripla felquiter
tia,qualis eft inter 10 & 3 . Si vero maiorem diuidendo per
minorem, quotus fit alius ab vnirate,& remaneat alius nu
merus ab vnitatc,ratio erit multiplex fuperpartiensiquo'
tus dabit denominationem multiplicis, diuifor denomina Multiple*
tione partibus, qua; tot ertit,quot fignificabit numerus re /""ppartier,
lietusex diuifione,& aduerbialiter efferetur. Vt fint mini
mi numeri 3 & 11 ,diuide u per 3, &proueniut 3 St j-:
quare erit inter n & 3 ratio tripla fuperbiparties tertias.

f^OKLEMJ 4 . T^OPOSIT.8.

Datif \]nH>n/cunquerationibtM,quce/it altera maior ime
ni' e.

Hoc propofi.S.li, {.docet Euclides, dices, inarqualiu ma
gnitudinu maior ad cande maiore ratione ha bet, qua mi-
»or:8c cade ad minore maiore ratione habet quii ad maio ,
ron.vt fi conferas 6 fle 4 ad 2 , maior raiio eft 6 ad 2, qua 4

T h

INSTITVT ICNVM'

Exemplum

ad 2, Similiter fi 2 conferantur ad'4 & ad 6 , maiore ratio/
nem habent 2 ad 4,quainadd:itaq; in coferedis inter iefe
rationibus, debet elTe communis quadam magnitudo an-
tecedens, aut confequens quare in multiplicium vniuerfo
genere, qu* maiorem habet denominationem, maior eft.
omnium ei.im earum mir.i&us confcques eft vnitas; vttri
pia maior eft dupla,&c. in quo genere datur omnium mi-
nima,ncmpe dupla, nonautem maxima, inter fuperpar/
ticulares contra accidit, maior enim eft qua? minorem ha/
bet denominationem , nam ex $ communi concepti , 7 li-
bri, pars maior eft quj minorem habet denominationem,
idcirco omnium fuperparticularium maxima eft 1'efquial/
teramon tamen datur minima fuperparticularis. Inter fu
perparrientes ea eft maior, qua? plures partes eiufdem de-
nominationis continet.v t fupertripartiens quinta s, maior
eft fuperbipartiente quintas. In hypologis rationibus co
trarium accidit, namfubdupla eft omnium fubmultipli-
cium maxima, nec datur minima fubmultiplex. Inter fub/
fuperparriculares minima eft fubfefquialtcra, nec datura/
liqua omnium maxima. Reliquasautematq;etiampraf
didfas reduces ad alias rationes arquales,qute habeat eofde
confequentcs,quod facito vt problemate 4 fecundi libri
dici um eft.difpone datas rationes formis par-
tium, vt vides fupratripartientem quintas, & $6 4J

fuperbipartientem feptimas depiiftaSjquas re. 8\/s>
ducesad eofdem confcqucntes,feu denomina
tores,vtibidocuimus.I;ritiraq;fupertripar/ 55 35

tiens quintas redudia ad rationem, qua: eft in-
ter ~,6 &. 3^:& fuperbipartiens feptimas redudta ad ratio-
ni m, qua* eft inter 45 8 c 3?,vtprobauimus es iyfeptimi.
Quare maior eft ratio fupertripartiens quintas ratione fu
per bipartiente feptimas jj, is enim cfrexcsfTus inter {f-

AR.ITHM, LIB. III. 71

hac methodo rationes h^pologas conferes inter fe-
fe,& cum epilogis rationibus, vt fcias qua: fit maior,

<P<HJO<BLEMA j. T^OTOSIT. p.

Vatiis rationes in minimis terminis continuare .

Duae rationes in tribus terminis:tres,in quatuor termi
ris,quatuor iu quinqj terminis continuatur . Si duatfunt
continuandae, duc antecedentem prima: in antecedentem
fecund*,& fit primus terminus: duc confcquenrcm pri-
ma: in antecedentem fecunda: , & fit fecundus terminus:
duc confequentem prima: in confequentem fecunda:, &
fittertiusterminus:vtdupla2ad i,& fcfquitcrtiaqad
difpofitisterminis,vtvidt'S,coiitinuanturin 8,4, 3. Si
tres fint continuanda:,duc antecederem prima:
in antecedentem fecunda:, produefum vcrdduc 2— 4
in antecedente terti»’, & fiet primus terminus: x - — j
duc confequentem prim* in antecedentem fe-
cundae, & productum duc in antecedentem terti», SC
fiet fecundus terminus: duc confequentem prima: in con-
fequentem fecunda: , & produ&um duc in antecedentem
terti* , & fiet tertius terminustduc confequentem prima:
iu confequentem fecunda: ,& produdum ducin confeque
te terti*,& fiet quartus terminus. Vt tripla & fefquiter-
tia & quintupla difpofit* fic continuatur,
j in 4dudta faciut i2,quar duftain 3 facifit J-— Ar — ; t
do,fci!icetprimumterminu.duc 1 in 4 , St 1^— 3^— 1
funt 4. Sf 4 in 5,& funt to, fecudus fcilicet
terminus. duc 1 in 3 ,& } in fient 1 5, tertius terminus,

demum duc 1 in 3 , 8 t funt 3,& 3 in i»& funt 3, quartus sd

T iq delicti

Exemplum

Exemptum

INSTlTVTIONVM

dclicet terminus. dico igitur in do, 20, 1^,3 continuari tres
pra-dictas rationes. Si quatuor. fint continuandas, ducen
tur oinnesantecedentesinfefe,&:fietprimus terminus.
Ducetur deinde confequens prima? in anteceder tem fecii
das,& produdum iterum in antecedentem tertia',& pro-
ductum in antecedentem quartas , & fiet fecundus ter mi-
nus. confequens prima; ducerur in antecedetem fecundas,
&C productum in confequentem terti» , & productum iu
confequcntem quartas, & fiettertius terminus. confequens
prima- ducetur in confequentem fecundas, & produdtum
in confequentem terti», Siprodudiumin antecedentem
quarta: ,oC fiet quartus. confequentes omnium ducentur ili
fefe,& fictvltimus terminus, vtfint

continuandae rationes tripla, dupla, J — -x J-— . 4

fefquialtera , fefquitertia . difpones \C— j

eas in minimis terminis, vt vides , 8 C
inuenies 7^,24, 12,8 , 6 minimos terminos continuatarum
rationum datarum.

T\0 f BLEMJ6. T^OTOSIT. 10 .

Datas pta/cunque rationes in Vnam componere.

Ex f definitione fexti ita facito. duc antecedente Vnlui
in antecedentem alterius, & fiat antecedenstfiC confequen
lem vnius in confequentem alterius, & fiat cofequens. qui
duo produfti numeri continent datas rationes, vt fi com
ponas vnum tonum, qui conftat fcfquiodlaua fonorutn ra
tione.fcilicetgadScum alio tono, fitratioSi ad6q. quae
e ft minor confouantia elt fefquitertia diffe

rentia componas diateflaroin cum tono, fit diapen-
te. Si vero componas </ln:wtii7tdd eft, fcfquialteram con-

fonantiam

Aiitkh, iis. rir.

7 *

fonantia cum diateflarwnjid cft.fcfquitertiaj habebis cofo
nantiam /ii urwiJt^nempe duplam. Si vero diapafwn co
iungas cum diapente,habebis vnam triplam. Si duas dia
paiJncolligas,fietdifdiapa(cS'n,nempequadrupIa. Quod
etiam ex proxime procedenti problemate probari poteft.
nam.fi duos tonos in minimis numeris continues, fiet ?i, ■Aliter.
72,64. quare per vltimar definitionis corollarium erit ra-
tio 81 ad 64 compofita ex ratione 81 adyz.qugeeft fcfqui
oftaua,& ratione 72 ad 64, quae etiam eft fefquiodlaua.
Vtcompofuifti duas,compones quotcunry alias.

! VfiODLEM. 7 . Tfi^OTOSL ii .

Datas qua/cunque rationes injlar parttum Vulgarium
componere. e.

Haec methodus rationes componendi rationum additio
dici poteft. Saepe accidit.vtintermenfurandum addantur
rationes quemadmodum partes, quo fit, vt duae ratione)!
aequalitatis faciant vnam dupla , vt fi colligas-f cum ~~
fient colligas-i-cum-i-,id eft dupla,fit-f tripla. Ci

—triplam cum -i-, fit quadrupla. Quo modo fi compo»
nas vnam fefquialteram cum fefquitertia,fictiuxta4pro-
blema 2 libri quod fufifsime ibi quoad partes, eifidc*
claratum.

TfiOfiLEU. 8 . Tfi^OfOS. iz.

fixationes datas per alias qua/cunque diuidere.

Hoc genus diuifionum vocatur rationum ablatio. Si*
cut in partibus non folum maior per minorem, fed & mi-
nor per maiore diuiditur,fic in rationibus non folum ma-
jor

institvtionvm

ior per minorem, fcd Si mitior per maiorem diuidi folet,
quodin multiplicibus verum eft,ncdumin fuperparticula
ribus Si iupcrpartienttbus.quaru nomina prorfus funt Ct'
mdia nominibus partiti, quod ex rationii nominibus ma»
nifeftu eft.vr fefquitertia perinde eft ac femel 8i tertia- Et
vt in diuiiione partium quotus numerus continet ratione,
quam habet diuidenda ad diuidentem , ficin rationibus.
^ eadem itaque erit methodus diuifionis rationum cum par

* tiurn diuifione. nempe diuidenda: rationisantecedens du-
ccturin confequentem diuidentis, Si fiet an recedes, illius
verti confequensin huius antecedetem, Si fiet confeques.
Exemplum vthdiuidasduplam per vnamquadruplam.id eft fiabftra
has a dupla quadruplam ,difpones eas vt partes interpo-
fita virgula, & proueniet vna fubdu-
pla.atq; quam rationem habet z ante- z \/ 4 proue-
cedens fubduplxadq-fuumconfeque T /\ 7 ~ nit
tem, eadem habet ratio dupla ad qua»

Examen. druplam.Quod ii ducas quadruplam per fubduplam, feti
has duas rationes in vna coponas, proueniet dupla, quod
examen eft certifsimum. Sic fi diuidas confonantiam
di tpente, nempe fefquialteram, per tonum, id eft fefquio-
<ftauam,proueniet diarefiara>n,id eft fefquitertia: fi diapa-
fwn per diateffaruo, emerget diapente: fi diapafam per dia
perne, fieldiarelfaramifi ex diateffarun demas diapente, rt
manebit ratio 8 ad 9 fubfefquiodfauajhypotonus.H^c di
uiiio mutuo refpondct compofitioni propofit.io. huius.
Qua: alio modo fieri poteft, nempe fi inter terminos diui-
Aliter. deudar rationis collocaretur numerus, ad quem aliquis ter

minus diuidenda; rationis fe habere tin eadem ratione cu
diuidentefic.Sit diuidenda cupla per fefquialteram, acci-
pio dupla inter 4 8i 2, inter quae colloco 3, qua: fe habent
cum 2 in ratione fefquialteraiquumitaq; in 4, 3, 2, ratio 4

AR.ITHM» LIB. III.' 7J

ad 2 dupla , fit compofita ex ratione 4ad 2 fefqnitertia, &

3 ad 2 fefquialtera , dempta i ratione 4 ad 2,ratione 3 ad a
fcfquialtera,remanebit ratioqad 3 fefquitertia.

V%P<BLEMAq. T^OTOSIT. 13 .

PtMtH rationem ab altera perinde ac partium fubtra-
ftmem abjlrabere.

Aut data: rationes habent eofdem eonfequeotes, aut
non. Si habeant, fubtrahe antecedentem minoris ab ante-
cedente maioris manente eodem confequente, Sc proue/
niet differentia intereas. Vt lidemasduplam ~i qua-
drupla ^.remanebit dupla-- : fi demas triplam 4-i qua
drupla -A- ,remanebit ratio -f- «qualitatis. Si vero dat»
rationes habeantdiuerfos confequentes,tumperS huius
reductis ipfis ad eandem denomiiiarione/fi,feu ad eundem
confequentem, fiet fubtraflio Vtfi demas fefquirertiam
— i fefquialtera ~ .reducta fefquialtera ad -f-, & fefqui
tertia ad -f- , remanebit -i fubfextupla. viilits

VtilisefthKcfubtrahendi methodus ad menfuratio-
nes. Dioptra enim quadrati Geometrici Q,, percipies in
plana fuperficie vertice turris AK,bis. Semel ex C loco,ie
terum ex F ;in prima obleruatione,ex latere quadrati dio-
ptra interfecet iinea E G,qux fit S,qualium tatii latus 1 2.
quare p 4 fex ti, vt fe habet CE 11 ad E G $: ita c a diilatia

INSTITY.TIONVM

a turri ad A K eius altitudinem , fefquialtera videlicet ra -
tione Ex F loco colpciSo rurfus vertice turris dioptra in
tercepit lineam H B,qu.v fit 3,qualiu totum latus quadra-
ti eil 1 2. Itaq; per cande fexti,vt ratio F Had H Beftqua
drupiu,ita diitjtiatF A ad altitudinem A K elt quadrupla,
at a loco C ad locum F funt 100 pedes , quxritur quanta
fit turris A K altitudo f deme rationem fefquialtera C A
ad A K, aratione quadrupla F A ad AK,vt habetur hoc
problenute.Sf remanebit ratio -f-> nempe dirtautia; F C
ad AK>quaee(tdupla fefquialtera. D;c modo t dJr2,qua-
tum dabunt ioopedesf& per problema 3 primi, inuenie*
A K turris altitudine eile 40 pedum . Si md fubtralieres
fefquialteram a quadrupla, vt habetur propoli 1. 1 2 huius,
remaneret ratio diftatitiae F G ad A K altitudincm,'lup(a
fuper biparties tertias,ex qua 110 polfes turris altitudinem
inuertigare.namdiftantia: F C ad AK altitudinem eifra?
tio dupla fefquialtera. Vtraqj ergo rationum fubtralien-
darum methodus efl vrilis Geometra’, fed quae fit per diui
fionem partibusconfuetam, Mufico Si Allronomoelt pe
culiaris,qua non folum minor ratio a maiore , fed etiam i
minore maior fubtrahitur,quod non porcll fieri ih fubtra
Demonjlu drionequ* hic traditur. Quod autem maior ratio, a mi'
lio» nore fubtrabatur,ex 5 definitione lib-fextinecefilarid coi/
Jigitur,atq; ex corollario noltro, ex 19 definitione Ii 7.
fecundum Campanum, & 12 Si 15 capite primi libri AI*
wagefti.Nam fi ratio 3 ad 2 , difpofiris fic 3,q,?,copolita
eftex ratione 3 ad qadatetim <rada fitdtiphfefquial
tera ::it 3 ad 2 eft fefquialrera, neeeflarium cft vt minor ra
tio coponatur ex maiore, quare a minorepoterit fubirahi
ratio inaior minorem coponeus. Adhatr, ncceflarid refpo
det diuilio multiplicationi, fed niultip!uJtio,fcucompolt
tio rarioisfi fit methodo multiplicationis punium,& diui-

AtITHM. L I B. III, 74

fiorationum,feu abftradtio fiet omnino vt fitdiuifiopar-
tium.qua minor per maiorem diuiditur. Maior ergo ratio
d minore abifrahetur ,vt docet Theon ir> 23
propofi.fextirdicitenim rationem lincte Gad
McomponiexrationibusCad L,& LadM,

8 C vicilsim ratio M ad C c 5 ponetur ex ratio-
nibus M ad L,& L ad G: fed ratio M ad L efl
maior ratione M ad C,pcr 8 quinti: quare a ra
tione M ad C minore, poterit fubtrahi ratio C L M
MadL maior, & remanebit ratio L ad C.

Errant itaque Lo. Buteo, Si frater Lucas contra fentietes,

T^OSLEMJ 10. T^OfOSlT. 14.

2^ umeros continuo proportionales minimos in data ra*
tione, quotcunejue imperauerttcjuijjnam,menire.

Propof. 2. Iib.S.Duc antecedentem datsrationisinfe,
& in fuum cofequcntem : deinde duc confequcntem in fe,
& habebis tres genitos numeros in eadem ratione. Dein
de duc antecedens
tem data? rationis
in hos tres primo»
genitos, & conie-
quentem data: ra-
tionis in vltimum
ex tribusprimoge
nitis, Sc habebis
quatuor in eadem
ratione, 8 C catteros
ftmiliter. V t ratio/

Si

Mi

7 J ?

27

161

4 85

I 9

18

54

10S

324

12

34

72

2 t (5

1 4

8

24

48

144

16

96

3 J

M

V ii

tus

1 ii

Ereptum,'

INSTITVTICNVM

nis fefquialtcra^quatin minimis numeris 3 & 2 exiftit, o-
mnes numeros proportionales minimos inftitutum lit in
ueuire. tifpone cos numeros fic.duc 3 infc,& funt ? ,&
in 2,& funt<S:& 2 in fe,& habes 4,6,p,rurfus duc 3 in 7, 8C
funt 27: 8 C 3 in 6,& lunt 1 8: 8 i 3 in4,& funt 12: Si 2 in 4,
&i funt 8,12,1 S,27,quatuor proportionales minimi in ra-
Ventonflu tione fefquialtera Sic. Demoftratur hoc ex 17propof.lt.
lio, 7. quia 3 multiplicauitfe,nempe 3 Si 2:quareprodu<3i9&

6 fe habent in eadem ratione, ac 3 & 2; rutfusper eandem
propof li,7. ipfe 2 multiplicauit 3 ,& fe,id eft 2;quare pro
dufti£& 4,fimiliter fe habebunt in eadem ratione cum j
& 2 tergo per 11 quinti, qualis ratio eft 5 ad 6, talis eft 6 ad
4,quod erat faciendum.

Annotatio. Quomodo datis quibufcunepterminis,fit ratioeorum
continuada,docuimus iam lib. 1 iproble.7. atq; quomodo
fninueniedii vnu medifiproportionale,proble.3.Quoin
uento, Hmili ratione inucnientur duo alia : nam fi inter A
& E ducendo A in E , eius produfli radix quadrata C eft
medifi proportionale inter A & E tquare fi ducas A in C,
produci radix quadrata B erit medium proportionale in
ter A & C. Similiter, inter C Si E inuenies D aliud mediu
proportionale, qua methodo inuenta erunt tria. & fic cor
fequenter infinita media proportionalia impari progref-
fioneinueuiri poterunt.

Theorema 5, Tropofitio 15.

Si fuerint tres numeri proportionales, culus medij
tf aqualis ei, qui fit ex duclu omnium in fefe.

V t ficu 1 2,4,8, cubicus 4 eft 64. fi ducas 2 in 4, funt 8, fi
S in 8,funt <>4. Hoc fit quia cubicus ad fua radicem habet
arationem duplicatam ex rationc,quam habet ad quadratu

radicis

ARI THM. II B. III.

7f

radicis: ficut tertius proportionalis p lodcfiiiition? quin-
ti, habet rationem duplicatam ex ratione, qua: cii inter fe-
cundum & primum.

T^OBLEMJit. ?\0T0SlT.i<5.

Inter dato* numeros, duos medios proportionales me-
nis e.

Si ratio inter datos numeros pofsitin tres «quas ratio/
nes diuidi.dabuntur duo medii proportionales a b f 'q; fra-
ctionibus fic. Sint z £t 1 6 , inter quoseft ratioodupla.qup
componitur ex tribus duplis, duc 2 quadrate , &funt4,
qu* duc per 16, & fiut ^cuius latus cubicum funt 4, qui
cit primus medius minor. deinde duc quadrate 16 ,& hut
2^6, qua: duc per 1, & funt <; 12, cuius latus cubitum funt
8,alter medius proportionalis maior. Si ratio inter da-
tos naii pofsit diuidi in tres «quas rationes , tum produ/
fti ex quadratis datorum numerorum in eos erunt furdi,
nec habebunt latera cubica. Quare notabis medios pro-
portionales per notam iW abfqj inuentione lateris cubici.

VI fi dandi funt duo medii proportionales inter 2 & 10,
inter quos eft ratio fubquintupla>qu« non potett diuidi in EK '^ ulfc
tres rationes «quales. quadra 2, & funt 4, qu* duc per 10,
&funt40. quadra 10,8; funt icc,quxducpcr 2, Sciunt
200. dico 2 & v.v'4o,& »^200 & loeifequatuor numeros
proportionales. Accipe enim cubicos extremorum cum
eis iic, S, 40,200, 1 oo, qui numeri funt continue} proportio
nalcs ratione quintuplaiquare & eoru m latera erunt pro-
portionalia per 12 propofitionem 8 libri. Ratio Imius pro
pofitionis fumiturexio definitione quinti, nam fi qua*
tuor numeri fuerint proportionales, ratio vnius extremi

V iij ad alte-

INSTITVTIONVM

ad alterum eft ratio mediorum triplicata, quare cum ratio
excremorumnonpofsit ex tribus atqualibus rationibus
componi, non poterunt abfq; fractionibus dari duo medi]
proportionales.

QtiJDBLEM. 12. TO^OTOSI. 17.

Data ratione compo/ita ex duabus , ex fex tegminis
earum, compafius omnes ex illts fex terminis compo-
nentis omnes rationes inuenire.

Ptolcmaus Iib.i.magnKconftruftioniscap.12. dcm 5
firat.protractis duabus lineis, a b, & ac,apun£toa,SC ab
extremis earum ductis alijs duabus lineis b e , & c d , fc-
cantibus fe in pun(ftof,fururam rationem ca adae,com*
pofitaincx rationibus c d ad d {,&. { bad b e. Item ratione
c e ad e a componi ex rationibus c
f ad fd,& d bad b a. Similiter ra a

tionem b a ad a d componi cx ra-
tionibus b e ad e f ,&t f c ad c d.Ite
rationem b d ad d a coponi ex ra.
tionibus bf ad fe,& e c ad ca,
Quodexhocfchenuteeuidetifsi ^
tuum e(t,in quo c a eit jiqualiu a e
l,&cdeft 5, qualium dfeft i, 8 C f
b ?, qualium b e y. Sititaq; inpri
mafynthefica 3 Primus terminus, ae 1 Secundus,cd <;
Tertius,d f r Quartus.f bj Quintus,be y fcxtus.quodde
hac fyntheli prima quatuor , qua- emergunt ex hoc fche-
mate,dicctur, dicendum eft de omnibus rationibus com-
potitis ex ahjsduabustquod ratio primi 3 ad fecundum 1,

fit com-

A ri r h h,. m. r i r,

76

fit compolita ex rationibus tcrtij ?ad 1 qiurtu,& 3 quin-
ti ad 5 fextum, patet ex 5 definitione fexti. nam ~ fit ex
_S_ Sc — .

Ratjo primi ad fecundum confiat ex rationibus tertij 1
adfextum,dCquintiadquirtfi ) nam-7-confiatex-f-&-7-.

Ratio primi ad tertium confiatex rationibus fecundi z
adquartii,& quinti ad fextu.nam -j~ confiat ex -7*

Ratio primi ad tertium confiat ex rationibus fecundi j
ad fextum, diquintiadquartii.nam-j-cofiatcx &~f.

Ratioprimiad quintum confiat ex rationibus fecundi ^
ad fextu m.dc terti) ad quartum. nam -f-fit ex -j - .

Ratio primi ad quintum confiat ex rationibus fecundi f

ad quartum, & tettiiad fextum. nant -f- confiatex -r &

f Ratio fecundi ad quartum confiat ex rationibus primi ^
ad tertium fexti ad quintum. nain ratio -f- confiat ex

Ratio fecundi ad quartum confiat ex rationibus primi 7
ad quinrumj&: fexti ad tertium, nam -f- confiatex -f- &

7

Ratio fecundiad fextum confiat ex rationibus primi 3
ad tertium > & quartiad quintum, nam ratio ~~ confiatex

. ? g/ V
r a f *

Ratio fecundi ad fextum coftatex rationibusprimiad £
quintum , dC quartiad tertium, nam -f- confiat ex &C

i

Ratio tertrj id quartum fit ex rationibus primi ad fecu<> i a
dum iSCfextiad quintum. nam -f-conftatex -~&i -5-.

Ratiotertfiadquartumconftatexrationibus priiniad n
quintum* 8 c fexti ad fecundum, nam -f confiatex &

INSTITVTIONVM

ti. Ratio tertii ad fextum fit ex rationibus primi ad fecun/

duin,8C quarti ad quintum. nam ratio -j- firex-p SC
ij Rado tertij ad fextum fit cx rationibus primi ad quin-
tum, cx' quarti ad fecundum, nam -f fitcx— j- & -j-.

14 Ratio quarti ad quintum iit ex rationibus fecundi ad
primum, & tertij ad fextum. nam ratio — titex-pS£

Rado quarti ad quintum fit ex rationibus fecundi ad
fextum,& tertij ad priinum.nam ratio fitex -p&; -p.

16 Ratio quinti ad fextum fit ex rationibus primi ad fe«v
dum,& quarti ad tertium.nam rado -pfit ex -p&-j^

17 Ratio quinti ad fextum fit ex radonibus primi ad ter-
tium, 8c quarti ad fecundum.namratio-pfitex 8 C~~.

Annotatio. Praeter has 17 rationum compofitiones,quar emergunt
ex fex terminis compotitae rationis ex duabus, nulla: aliae
futit vtiles, inter quas plurimas rationes minores reperiet
a maioribus componi,& proinde per eas poterunt diuidi»

T^O B L E14J 13. T^OTOSIT. 18 .

“Datis quinque terminis rationis compoftu <1? dua-
rum componentium , ex tpfis relicuum ignotum inuenire.

Si Textus fuerit ignotus, inuenietur du&o fecundo in
tertium, & produdum diuidetur per primum , 8 i quotus
proueniens ducetur in quintum, 8 C produdhmi diuidetur
per quartum. nam ti ducas 1 in s, fiunt ?:quibus diuitis per
j ,prouenient 1 -j- ,quae fi ducantur per j,fient s,fextus fci
licet numerus.

Quintus imitniturdudlo primo in quartum, 8 c prodit
fluvn diuiditur per tertium; quotus vero ducitur per fex-
tum, S:

AftiTHM, ti b, m; 77

tum , 8i productum diuiditur per fecundum, SC prouenit
quintus, nam ii ducas 3 in 1 , fiunt i , qua? fi diuidasper
j.tiunt ,quar fi ducantur per s,fiunt^,id eft 3,qua? fi di
uidasper i, fiunt 3,qui di quintus.

Quartus inuenitur du&o fecundoin tertium, Si produ
dum diuiditur per primu: quotus verti ducetur per quin-
tum, & produdum diuideturperfextfi.&prodibitquar'
tus. nam duifto r in 5 ,fiu-ni c,qu:e fi diuidasper 3» fiti,&
-i-,qu*,fi ducas per 3, fient $,qua? fidiuidas per f,perue-
«, 1 1, qui clt quartus.

Tertius inuenitur dudo primo in quartum , & produ-
dum diuiditur per fecundum : quotus verti ducetur
in fextum , Si produ dus diuideturper quintum, 6c pro-
dibit tertius, nain fi ducas 3111 1, fiunt 3, qua; fi diuidas per
i,prouenient 3, qua? fi ducas per s,fiuut t f,quaefi diuidas
ptr 3,ficnts,quicf} tertius.

Secundus inuenitur ducto primo in quartum, & produ
dmn diuiditur per tertium:quotus vero ducetur in fextii.
Si produdum diuidetur per quintum, & proueniet fecura
dus.Namfi ducas 3 in 1, fient 3, qua' fi diuidasper 5, pro-
uenient -f ,qua? fi ducasper c,fient eft 3 ,qu* fi di-
uidas per 3, proueniet 1, qui eft fecundus.

Primus inuenitur dudo fecundo in tertium. Si produ»
dum diuiditur per quartum, & quotusduciturin quin-
tum, Si produdum diuiditur perfextum, 8i prouenitpri
mus.Nam fi ducas 1 in c, fiunt ?;quar fi diuidas per i,pro/
ucnient s,qua; fi ducas per 3, fient 1 j,qua? diuifa per ^re-
linquunt 3 .fcilicet prunum.

Cum autem primus & fecundus terminus habeant can
dem menfuram communem, tertiusverd& quartus alia
tnenfuram, quintus vero SC fex tus aliam, vt paret ex fche-

X mate.

Annotatio

I N S T I r V T : 0 N V M

mate, ex primis duabus rationibus Si vno termino afte-
rius, colligetur fextus, qui erit mcufuratus eadem menfu-
ra communi cum quinto . non erunt itaque lia; menfurar,
binis quibufq; eorum communes,inter fefe commifced ar •
nam alterius menfur* funt 3 partes line* c a, quam 5 par-
tes line* c d. atque huius s partes alterius funt menfurat,
quim ? partes line* b e, C*terum quando quinq; termi#
ni dantur in folis numeris, quia omnes numeri habent vni
ratem communem menfuram , protinus colligetur ex iiis
tegulis defiderat us terminus.

NVM

FINIS INSTITVTIO

arithmet.

HHft*

\i<Hl \H*

■

*